找规律巧解代数题

耿虎子

[摘要]本篇论文主要论述了有关分数串求和计算的方法及我国古代经典数学问题九宫图的解法。通过列举典型例题，把通常用的解法和自己的解法进行比较，突出了新解法的优点。但并非只停留在个别例题的求解上，而是在个别例题的基础上进一步总结出这类题的解法。挖掘问题的深度，使读者触类旁通，获得一定裨益。

对于一些代数问题，数字的排列组合似有一定的规律可循，若真要做起来，急切之间，却又无法下手。但并非羚羊挂角，无迹可求。若肯下功夫，仔细研究数与数之间的关系，定能找出数字的迷宫的金钥匙，使问题迎刃而解，而乐亦在其中。请看下面的问题：

例1：计算：

（一）奥数解法：

分析：上中的分母都是两个因数的积，每一项的第二个因数都是后一项的第一个因数。又因为：

。所以，在拆项时需要分别乘以 以便使它们等于原式中的各个分数

（二）自己的解法：

分析：上式中的各分母都是两个连续奇数积，公差是2，因此，这个分数串就可以拆项相消法求和。因为，

这种方法是用分母中的两个因数分别做分数的分母，把分母中的第二个较大的因数拆成两个连续整数。（如5拆成2和3，7拆成3和4，9拆成4和5，11拆成5和6等），分别做两个分数的分子，形成两个分数差，以便使它们分别等于原式中的各个分数，从而通过相消使计算简便。

例2：把自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入右图的方格内，使每一横行，每一竖行，每一斜行的三个数的和都相等。

（一）奥数解法：

这是古代有名的九宫图问题，先计算它们的和是多少？（1+2+3+4+5+6+7+8+9=45）再给和处以3。即（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=15，这样就可以把和胃15的各种可能列举出来：

8，3，4；1，5，9；6，7，8；8，1，6；3，5，7；4，9，2；8，5，2；4，5，6。观察到只有5在四个组里都有，其他字码每个都用三次，所以把5天灾中央方格内，经过估算填入右图所示：

（二）自己的解法：

分析：这类题目在小学、初中教材里都有一定的训练题，虽然难度较大，但做起来里面含有一定的规律和技巧。这类题目要先把这九个连续整数按从小到大排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后依次为第一，第二，第三，第四，第五，第六，第七，第八，第九并按照下面左图的方格里的提示填成右图。

观察上面方格里的数，容易看出中央格内的5是这几个数中间的一个，并且斜行里的4，5，6这三个数是连续整数，其他各数的排列也容易识记它们的特点。并且此法不仅限于连续整数、连续偶数、连续奇数也适用此法。同时在此填法的基础上，把第一横行和第三横行的数对应调换，也可以把第一竖行和第三竖行的三个数对应调换。举例如下：

（作者单位：陕西省商洛市商州区中学西校区）