产品销售预测的数学模型及应用

汪珊珊 李琳珊 程 翊 孟莹哲

（杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310000）

一、问题的背景与研究意义

预测之于工作与生活其实无处不在，同人民群众的生活有着密切的联系。不论是生活工作的安排还是企业计划的制定，甚至是国家政策的订立都会根据客观存在的实际情况来做出决定，并根据这些条件来指导其行为，尽力去实现这个目标，同时努力地减少各种损失。在经济不断发展的今天，同时也伴随着市场竞争性不断增强的这样一种情况下，企业为了达到所预期的经济活动，更加需要使用历史数据来进行判断和分析，并依据这些判断和分析的结果来制定出未来的营销、生产计划。而这个过程就需要对数据进行定量的分析之后做出预测，将预测结果作为制定这些计划的有效依据。

预测是决策的重要凭据，也是决策的先决条件。预测利用对历史的分析来掌握更丰富的未来信息。对任何事物来说，过去、现在和未来是相互关联的，过去的存在对现状产生影响，而现状如何又会对将来产生影响。掌握了这种发展规律，才能更好地进行决策，使事物顺应预期的发展。

本文根据已有的销售数据，建立产品的销售量预测模型及产品相互关联性分析模型，为企业制定最优的生产方案，促进企业的良好发展。

二、模型的假设与符号说明

（一）合理假设

1.不考虑消费者的需求动向及同业竞争动向带来的影响。

2.忽略经济政策变动及消费者导向的影响。

3.生产商的销售策略不变，市场、生产状况稳定。

4.同一种产品不考虑其型号的不同带来的影响 。

（二）符号说明

表1 符号说明

三、模型的建立与求解

（一）GM（1，1）模型建立

为了能够对产品未来销售数量进行预测，根据灰色系统理论，利用灰色预测中的GM(1，1)模型，进行灰色预测。

我们将建立GM(1，1)模型的步骤描述如下。

第一步：累加生成

对原始数列中个时刻的数据依次累加，从而形成新的序列。

设原始数列为

对x(0)做一次累加生成（记作1-AGO)，即令

亦即

第二步：一次拟合参数

建立如下GM(1，1)模型即微分方程：

第三步：确定预测值

（二）模型的求解

运用以上建立的GM(1，1)模型，结合附录表1中三种产品的销售量数据，先对直柄钻（记为A）进行预测。通过MATLAB编程实现（程序见附录）：

做一次累加生成为

可得(t)的值如表2所示。

表2 直柄钻预测值

接下来12个月的预测销售量为（×106)：

对于锥柄钻、机用丝锥这两种产品，我们同样用GM(1，1)模型求得各自的预测值，如表3所示。

表3 三种产品的预测值

（三）模型分析小结

在许多情况下，GM(1，1)模型可以通过对时间序列长度的不同取舍得到不同的预测结果，但在数据变化大或系统明显受人为控制或外部干扰时，套用GM（1，1）模型进行长期预测所得到的预测值误差过大。为了尽量减小未来的一些扰动因素对系统的影响，使预测值更具有实际意义，精度更高，我们建立了模型二。

（四）等维灰度预测模型二的建立

对于一个系统来说，随着时间的推移，未来的一些扰动因素将不断进入系统，从而对系统增加影响，因此GM(1，1)模型虽可以进行长期预测，但真正有实际意义且精度较高的预测值仅仅是最近的一两个数据，其他更远的数据仅反映一种趋势。由此可见，没有必要用一个模型去预测未来的所有值。鉴于这种情况，可先用已知数列建立GM(1，1)模型的一个预测值，然后把这个预测值补充到已知序列中，同时去掉一个最老的数据。这样，用预测灰数新陈代谢，逐个预测，依次递补，直到完成预测目标为止。利用这种方法，即可建立等维灰度预测模型。

（五）模型二的求解

运用以上建立的等维灰度递补预测模型，结合模型一中得出的之后第一个月的预测值，我们先对直柄钻进行等维灰度递补预测。先对直柄钻销售数据进行等维灰度递补处理，即将我们计算出的之后第一个月的预测值补充到已知数列中，同时去掉已知数列中第一个数据，可得一组与已知数据等维的新数据。这组新数据为

通过MATLAB程序（见附录）可得：

的值如表4所示。

表4 利用等维灰色预测模型得到直柄钻预测值

拟合参数中的B，YN：

B=[-653 -1201 -1657 -2021 -2359 -2653-2948 -3232 -3479 -3745 -3972 -4167 -4448-4779 -5162 -5523 -5758 -5991 -6291 -6616-6976 -7352 -7770 -8176 -8691 -9290 -9756-10064 -10433 -10910 -11333 -11781 -12218 -12628-13047]T

YN=[5349094 5618165 3507220 3763738 3001728 2869346 3034814 2649009 2284113 3045305 1495710 2393815 3235161 3372898 4294588 2927532 1762303 2912535 3078660 3420469 3780676 3730319 4649011 3459665 6843754 5137744 4178520 1977812 5400369 4145291 4319709 4626432 4116106 4094489 4272900]T

将a，u值代入响应函数，得到的响应函数为：

根据MATLAB程序同时可得接下来的12个月直柄钻的预测销售数量为(×106)：

利用此模型，依次对直柄钻、锥柄钻、机用丝锥这三种产品进行等维灰度递补，对之后12个月的销售量进行预测，得到预测表如表5所示。

四、模型的评价

我们运用了先进的灰色方法对未来的十二个月三种产品的销售数量做了较好的预测。

（一）模型的优点

利用灰色方法建模的精度较高，可保持原系统的特征，能较好地反映系统的实际情况。

模型利用题中的数据，利用灰色方法进行了大量细致的计算工作，使模型的预测精度大大提高。

表5 利用等维灰色预测模型得到三种产品预测值

（二）模型的缺点

利用灰色方法运算，过程较复杂，可操作性不强。

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