基于两步线性回归的状态空间模型建立与验证

史志伟，倪芳原，陈永亮

（南京航空航天大学 航空宇航学院，江苏 南京 210016）

0 引 言

对于现代先进战机来说，寻求准确实用的大迎角非定常气动力模型，用于动力学仿真、稳定性分析和控制系统设计，成了众多专家学者的研究目标。但是目前还未获得能够准确描述战机上的非定常气动力，并且可以很方便的应用于飞行仿真的数学模型。

大迎角非定常气动力建模主要沿着两个方向发展：其一是传统的数学模型方法，如代数模型［1］、阶跃响应模型、状态空间模型［2－4］、微分方程模型［5］等；其二是现代建模方法，即利用新型边沿学科研究成果来建立气动力与飞行状态之间的关系式，如神经网络模型［6］、模糊逻辑模型等［7－8］。

传统的数学模型方法则可看作是“白箱”问题，“白箱”问题是机理分析法建模，即根据物理背景和机理分析来建立气动力与飞行状态之间的数学关系式。早期的空气动力学模型一般近似用某时刻运动变量及其时间导数的函数的泰勒展开，取其线性项来表示。这种近似适用于小迎角附着流的情形，但是如果扩展到大迎角时就不再适用了。在早期的空气动力学模型的基础上，Tobak M和他的同事应用阶跃函数方法建立了积分形式的非定常非线性气动力模型。虽然这种方法十分有效，但是飞行器运动的方程是微分形式的，很难把非定常非线性气动力的积分模型与飞机运动的微分方程联立起来，因此限制了积分模型的广泛使用。Goman M等人在此基础上，引入流场状态的内部变量，把上面的常微分方程组改写成输入—状态—输出动态系统，建立了称之为状态空间表达的非定常数学模型［9－11］。其中内部状态变量可以只是形式上的表达，而且可以有明确的物理意义。由于采用矩阵表示，当状态变量、输入变量或输出变量的数目增加时，并不增加系统描述的复杂性。国内有研究表明状态空间法的模型可以反映大迎角非线性非定常气动特性，并且具备很好的仿真计算、预测能力。

模糊逻辑与神经网络方法则是将气动力的建立过程看作“黑箱”问题，“黑箱”模型本身作为系统的一种模型，不需要建立有明确表达式的数学模型。这样建立的模型具有强大的自学习功能，能够学习适应不确定性系统的动态特性，同时对于建模参数的数量也没有限制。有研究表明，对于耦合运动的非定常气动力这种具有多变量参数的函数，模糊逻辑原理是很适合于耦合运动的非定常气动力建模。神经网络在处理多变量、非线性、非定常气动力问题时也是一种有效的方法。但是这两个方法的缺点在于非定常气动力的建模参数比较多，计算量较大，其建模精度还有待提高。

本文将在三角翼状态空间模型的研究基础上，完成某飞机模型的小振幅风洞动态实验，计算该飞机模型的“同相”、“反相”导数，对状态空间模型进行参数估计。通过对建模结果的分析，来讨论此状态空间模型的适用性。

1 数学模型的形式以及模型辨识过程及方法［9－11］

飞机模型在大迎角下的流动特性，很大程度上取决于涡流和涡破碎流，并在此过程中产生了很重要的时间迟滞效应［12］。气动力系数在物理意义上，可以分解成由不同特征时间常数的势流（包含附着流、非破碎涡流）与破碎涡流、完全失速流共同作用的形式。对于所有气动载荷，这里给出一普遍的形式如下：

其中i＝（x，y，z，l，m，n）为气动分量，ξ＝（α，β，p，q，，…）T为运动参数，τatt、τdyn、τFSF分别为势流、涡破碎和完全失速流的流动调整过程时间常数。右端第二项也即涡破碎量可以写成非线性常微分方程的形式，能够以更灵活的形式来描述时间常数：

其中＝t＊V／c为无量纲时间常数，下文中均直接简写为t；kn（α）为m＋1个待估参数、为在涡流破碎过程中引起的准定常延迟，（，）实际即为Cidyn的静态值ΔCi。

综合上述研究可知，式（1）、式（2）构成了非线性、非定常状态空间气动模型的基本形式。

以某三角翼模型纵向运动的法向力系数的线性模型为例，来介绍两步回归［13］参数辨识方法的一般过程：

对方程（3）进行线性化，可以导出如下形式：

由此可以得到，“同相”和“反相”导数它们两者之间的关系如下：

线性回归方程（5）可以看作是以“同相”动导数为自变量、“反相”导数为因变量的一个线性方程。由第一步线性回归得到特征时间常数τ之后，式（4）就可以看作是不同迎角下、估计未知参数CNαatt、CN˙αatt、ΔCNα的线性回归方程。通过第二步线性回归可以得到待估参数势流分量CNαatt、CN˙αatt和涡破碎流分量ΔCNα的值；至此，线性回归方程（3）中的所有未知参数通过两步回归法都得到了其估计值。

图1、图2为单独俯仰运动以及单独偏航运动情况下，状态空间模型的参数估计值以及纵向建模和航向建模线性（Cimod1）、非线性模型结果（Cimod3）与实验数据（Ciexp）的对比。图中Cist为系数Ci的静态值，Ciatt为通过辨识得到的系数Cist的势流部分值，Ciexp为系数Ci的动态实验值，ΔCi为通过辨识得到的系数Cist的涡破碎流部分值，Cidyn为通过求解微分方程得到的系数Ci的涡破碎流部分值。

图1 三角翼模型纵向建模线性、非线性模型结果与实验数据比较（β＝0°，f＝0.5Hz）Fig.1 The delta wing：comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear pitching unsteady aerodynamic model

图2 三角翼模型航向建模线性、非线性模型结果与实验数据比较（α0＝30°，f＝0.5Hz）Fig.2 The delta wing：comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear yawing unsteady aerodynamic model

2 飞机模型状态空间模型建立与研究

对于飞机模型的状态空间模型建立，仍引用文献［9］中的状态空间模型方程。并设计风洞小振幅动态实验，得到飞机模型作单自由度运动在不同中心迎角下的小振幅实验数据。进而推导“同相”和“反相”导数的计算公式，得到飞机模型在不同迎角，不同频率下的“同相”和“反相”导数值。这样就可以用两步回归法来进行参数辨识，得到状态空间模型中的所有未知参数，进而得到建模结果。

2.1 实验研究

2.1.1 实验设备

本文实验在南京航空航天大学NH－2低速风洞中进行的，该风洞实验段口径为3m×2.5m矩形带切角。图3所示为模型支撑机构和本文实验所用的模型。实验时模型采用尾支撑，并保证模型重心、天平校心、模型旋转中心三心重合。

2.1.2 数据采集和处理

风洞实验得到飞机模型作单自由度运动在不同中心迎角下的小振幅实验数据，模型运动规律为α＝α0－αmcos（2πft），模型运动频率分别为（0.4，0.5，0.6，0.7）Hz。数据采集通过一杆式六分量应变天平来实现。由于测量数据是在模型作快速往返运动情况下采集得到的，大迎角气流分离引起的流动不重复性，以及模型作高频摆动时的惯性力和气流分离后非定常涡流引起的结构振动的影响，造成测量数据离散性很大，乃至有用的信号淹没在背景噪声之中，而无法获得准确的测量结果。因此，除了数据采集时采用10Hz低通滤波器外，另外设计了数字滤波软件［14］，以减少实验数据的观测噪声。

图3 动态实验台实验照片Fig.3 The photo of test apparatus and model

2.2 飞机模型动导数的计算［15］

在模型的参辨识中，第一步线性回归需要在不同迎角下的“同相”和“反相”导数来辨识得到相关参数，通过实验测得飞机模型的小振幅实验数据，可计算得到在不同迎角，不同频率下的“同相”和“反相”导数。

根据小扰动理论以及用实验法提取动导数，我们将气动力写成（以俯仰力矩Cm为例）：

由于在风洞实验中Δq＝Δ˙α，飞机模型运动规律满足：Δα＝－αmcos（kt），由此得到：

对式（7）两端同时乘以cos（kt）以后进行时间平均，得到：

这样可以通过积分运算得到俯仰运动的“同相”导数。

同理，对式（7）两端同时乘以sin（kt）以后进行时间平均，得到：

这样可以通过积分运算得到俯仰运动的“反相”导数。

下图为飞机模型在不同迎角、不同频率下的“同相”和“反相”导数。

图4 飞机模型“同相”导数数据Fig.4 In－phase aerodynamic derivatives of aircraft

图5 飞机模型“反相”导数数据Fig.5 Out－of－phase aerodynamic derivatives of aircraft

2.3 飞机模型建模结果与分析

在得到飞机模型的“同相”和“反相”导数值之后，就可以用两步回归法来进行参数辨识，得到状态空间模型中的所有未知参数，进而得到建模结果。

图6为“同相”和“反相”导数的相互关系。利用相互关系，通过第一步线性回归可得到相应的特征时间常数，再进行第二步线性回归，辨识得到方程中势流分量和涡破碎流分量的估计值。

图6 用于第一步线性回归的飞机模型“同相”导数和“反相”导数Fig.6 In－phase and out－of－phase aerodynamic derivatives of aircraft used for first step linear regression

通过两步线性回归法，辨识得到了状态空间模型的方程中所有的待估参数值；由线性模型以及非线性模型可以直接求解微分方程，即可求出力矩系数的Cm的线性模型值以及非线性模型值，见图7（β＝0°，f＝0.4Hz）。

图7 纵向俯仰运动建模线性、非线性模型结果与实验数据比较Fig.7 Comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear pitching unsteady aerodynamic model

由以上结果可以看到，线性、非线性模型结果与实验数据相比，大体上的趋势还是吻合的。这说明所采用的模型在一定程度上还是能描述飞机模型的气动力的非线性特性和非定常迟滞效应。但是在数值上还存在偏差，分析误差来源可能有：

（1）实验飞机模型体积和质量比较大，在模型作快速往返运动时，结构振动和模型高频运动时的惯性力等都会对实验数据造成影响。这些影响可能会导致所计算得到的“同相”导数和“反相”导数值有一定的误差，从而影响建模结果。这就要求在今后的实验中要选择体积较小和质量较轻的飞机模型。

（2）与三角翼模型的动导数相比较，飞机模型的动导数关于频率的依赖性更加复杂。对于这两个不同的飞机模型，这种差异也是合理的。中等迎角下三角翼前缘不再是附着流动，在机翼前缘产生分离。从前缘产生的分离剪切层，在机翼上表面两侧被卷起，形成一对反向旋转的稳定的前缘涡。而对于具体的飞机模型，不仅在机头处有前体涡，边条翼也会产生涡，同时垂尾也会对全机的气动力有影响。这些涡之间的相互作用，都会使得涡破碎点的位置有很大差异。从状态空间模型的物理意义上来考虑，这些差异不仅会导致动导数的规律差异，同时可能对于状态空间模型的具体表达形式，也会有影响。这表明目前所用的状态空间模型对于三角翼这样流动结构比较简单的模型是适用的，但对于复杂构型的飞行器来说，状态空间模型的表达形式还需要进一步研究。

3 结 论

通过研究可以看出，对于三角翼模型，反映大迎角非线性非定常气动特性的状态空间法模型根据实际的流动物理意义建立，形式也较为简单，利用小振幅动导数实验和线性的状态空间法模型计算得到的非定常气动载荷，就已经与实验值非常接近了，验证了模型的正确性。通过改进模型，利用非线性的状态空间模型在大振幅的振荡实验中，模型计算的结果与实验数据符合的更好，包含了更多非线性特性。

进一步考虑复杂构型的飞机模型的状态空间模型，由目前所得结果可知，建模结果与实验数据相比仍有误差，还需进一步深入研究。

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