泥石流沟分形维的初步认识

崔洪峰 朴学洙 上官云龙

(1．延边朝鲜族自治州公路管理处，吉林延吉 133000;2．吉林省交通科学研究所，吉林长春 130012)

1 概述

泥石流是山区常见的一种地质灾害。由于其爆发突然，携带大量的泥石碎石，给流经区域尤其是泥石流堆积的人民生命财产与工程设施等造成极大的威胁［1-3］。

泥石流是多因素影响下的复杂的非线性系统。讫今为止，人们对泥石流的运移机理等还没有充分的认识。一般而言，针对泥石流的影响因素，例如主沟长度与流域面积等，可对泥石流沟进行初步的认识与评价。泥石流由多因素影响，不同影响因素对泥石流的贡献并不完全相同。

例如，泥石流主沟长度与流域面积越大，泥石流所携带的物源就越多，其所造成的威胁则可能越大;泥石流沟内植被覆盖率越高，泥石流的发生频率则越低，其所造成的威胁也就相应减小。故为整体上认识泥石流沟，需选择一个综合性与代表性的参数，整体上把握泥石流的状况［4，5］。

本文采用分形维这一参数进行泥石流沟的分析。文中分形维的分析包括泥石流沟谷的分形维分析与堆积物分形维分析。泥石流沟谷的分形维在一定程度上反映了泥石流沟谷的发育密度与其阻塞程度。堆积物分形维在一定程度上反映了泥石流沟内物源的组成与泥石流运移过程中固体物质的滞留情况。通过两者的分形维的结果，可对泥石流进行初步的认识与评价。

2 分形理论

分形维(fractal dimension)是分形理论的求算结果。分形理论是由Mandelbrot于19世纪70年代提出的。其基本思想为:传统意义上，对于点，可认为其分形维为0，线为1，平面为2，规律三维体(如立方体，正方体)为3。而很多图形较为复杂，这种复杂的图形介于上述图形之间。故为描述上述图形的不规则程度，Mandelbrot提出将物体的维数用小数表示，即位于0～3之间。分形维越大，物体形态则越不规律［6，7］。

在分形理论提出以来，很多学者对其进行了研究，提出了维数为小数的各种图形，如Sierpinski-Menger海绵等。然而，这些图形均具有一定的理想性，即存在自相似性。自然界中很难存在这样的图形。故在分形维的计算时，一般需假定事物具有一定的自相似性，限定一定的范围进行分析。此范围即为分形理论的无标度区间。在此区间内，研究对象具有一定的自相似性。

针对某一物体的分形维数的计算方法有很多。较常用的有谱维数与盒维数等。其中以盒维数法最为简单，得到了广泛的应用。故本文以盒维数的方法进行分形维数的计算。盒维数的计算表达如式(1)所示［8，9］:

其中，ξ为分形维的度量尺寸，通常表现为横坐标。对于堆积物的分形，ξ代表泥石流堆积区不同大小的粒径;对于沟谷的分形，ξ代表划分泥石流区域的网格尺寸;C为一常数。N(ξ)通常表现为纵坐标。对于堆积物的分形，N(ξ)代表尺寸小于ξ的颗粒百分含量;对于沟谷的分形，N(ξ)代表泥石流区域内尺寸为ξ的网格数;D即为分维数。

可建立lg N(ξ)与lg N(ξ)的双对数坐标系，曲线的斜率的相反数即为堆积物或沟谷的分维数。

3 实例计算

本文采用吉林省延吉地区的某一泥石流沟进行分析计算。此泥石流沟内物源丰富，泥石流发生频率较高。泥石流沟谷形态如图1所示。

图1 研究区泥石流沟谷分布示意图

另外，为计算泥石流堆积物的分形维数，项目采用堆积区内泥石流固体堆积物进行了筛分分析，各粒径范围内的颗粒含量如表1所示。

值得一提的是，泥石流沟谷的分形维在一定程度上是取决于地形地图的比例尺的。因为现场泥石流范围较大，人为对其进行调查是极为费时费力的。故泥石流的沟谷主要由地形图解译，而不同比例尺的地形图所解译出来的沟谷并不一致。当地形图比例尺较大时，较小的沟谷也可以解译出来;而当地形图比例尺较小时，解译则很有可能忽略了小型沟谷。本文采用1∶10 000比例尺对泥石流的沟谷分形维进行计算。

表1 各粒径范围内的颗粒含量

本文采用mapgis软件对泥石流沟谷进行分形维的计算。利用分形理论计算步骤如下:

1)根据地形图解译，确定泥石流的沟谷位置。通过mapgis的输入输出功能，绘制泥石流的沟谷。将沟谷存为单独的线文件。

2)可通过文件转换的功能，将线转换为若干点。

3)根据式(1)，设定一定的格子尺寸来覆盖这些沟谷线，计算内部有泥石流沟谷点的盒子数。

4)改变盒子的尺寸，重复步骤3)，确定内部有泥石流沟谷点的盒子数。

根据式(1)的原理，可将盒子尺寸设定为1×1，2×2，3×3…40×40，分别计算不同尺寸内的网络的盒子数。这样计算出的研究区泥石流的分形维值即斜率的绝对值为1．3，图形复相关系数为0．97。数据拟合情况如图2所示。

图2 沟谷分形维计算

项目已对堆积区的固体物质进行了筛分试验，已得到各粒径范围内的颗粒质量。可将颗粒质量转换为其百分含量，这样即可采用式(1)来计算堆积区物质的分形维，如图3所示。可见，堆积物的固体物质的分形维为0．472。

图3 堆积区物质分形维计算

4 结语

1)分形理论是对物体形状复杂程度的一种刻画。泥石流因子具有一定的复杂性，不同影响因子对泥石流的影响程度不同。而分形维是一综合性的参数，采用分形维对泥石流进行计算，从一定程度上简化了泥石流的计算。

2)本文分形理论对泥石流沟进行了分析。分形维的计算具体包括堆积区内的固体物质的分形维与沟谷的分形维，两者的分形维可充分反映沟谷发育的密度、阻塞水平、沟内固体物质与泥石流的运移规律。

3)采用分形理论对泥石流的计算还比较少。分形理论只刻画出泥石流某些要素的维数，还不能确定泥石流的重要评价指标，如危险度等。故还需要针对分形维对不同泥石流沟进行拟合，探讨不同泥石流沟的危险度等指标与分形维的对应关系。

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