新产品销售收入回归曲线与产品生命周期曲线关系模型——以河南省大中型工业企业为例

胡 弘 河南省科学技术信息研究院，河南郑州450003

新产品销售收入是指企业在主营业务收入和其他业务收入中销售新产品实现的收入。新产品销售收入可以直接反映企业在科技研发新产品的情况，对于一个地区来讲，也从一个方面反映该地区企业产品创新发展周期、更新换代频率和市场竞争能力等。本文，我们对河南省1999-2010年统计的大中型企业新产品销售收入统计数据进行了研究，回归得出三次曲线。产品生命周期理论描述的是一种新产品从开始投放市场到被淘汰的全部过程，该理论由美国哈佛大学教授雷蒙德!弗农(Raymond Vernon)1966年在其《产品周期中的国际投资与国际贸易》一文中首次提出的[1]。由于新产品有生命周期，其生命周期的发展过程的某个阶段有可能影响到新产品销售收入的统计。在统计多种新产品销售收入时，由于统计年限的不同，各种新产品的生命周期变化也会不同。因此，我们选取一些特定条件，建立一个将三次曲线与产品生命周期曲线相联系数学模型，以期对新产品销售收入的统计结果的进一步的解释。

1 回归曲线

根据统计年鉴，我们选取了一组河南省大中型工业企业1999-2010年新产品销售收入相关数据[2]，见表1。

考虑新产品销售收入逐年变化作为一组时间序列，时间坐标轴用t 表示，用数字1～12表示1999～2010年。用统计软件对新产品销售收入进行三次曲线回归分析，结果表明，R2值为0.997，说明与三次曲线模型的拟合度非常好，而且 F检验结果Sig值远小于0.01，模型成立的统计学意义非常显著。所以，根据参数估计值列出三次曲线的回归模型为：

式（1）中，x新产品销售收入，t为年，初始值为1999年时，t0=1，公式的单位为亿元。三次曲线和实际值的吻合情况如图1所示（图中的小三角表示实际值）。

表1 河南省1999～2010年大中型工业企业新产

图1 三次曲线和实际值的吻合情况

如果对这个曲线在每一年的点上做切线，可以看到每一年的增长速度是不同的，增长速度可以对式（1）求一阶导数得到：

在式（2）中，当t>3后，增长速度x’呈逐年增加的势态，也从一个方面表明河南省科技实力逐年增强，导致新产品销售收入增长不断加快。

2 三次曲线与产品生命周期曲线的关系模型

新产品销售收入一般统计的是被认可的新产品，有一定的时间阶段。如果统计新产品的年限仅为1年，超过1年就不再统计，那么，统计的新产品数量的变化就是三次曲线。根据有关规定[3]，生产资料类自投产起3年内的产品都属于新产品的范围；消费类自投产起2年内的产品都属于新产品的范围。因此，就需要将在2-3年的范围中产品生命周期曲线的变化考虑进去。

作为一个时间序列，产品生命周期过程可以分成4个阶段：介绍期(或引入期)、成长期、成熟期和衰退期。考虑统计年限是在成长期中。首先，将一种新产品在成长期的销售收入也近似表示为三次曲线，列出方程为：

式（3）中，xD为一种产品的销售收入，a0,a1，a2,a3为系数。考虑新产品销售收入是n个产品的销售收入之和，设每种产品销售收入都满足式（3），并且n是常数，总的新产品销售收入为：

考虑在时间序列中，每年增加一些新产品，淘汰一些产品，就需要对式（4）进行修改。考虑产品的统计年限为3年，成长期变化在这3年都被统计进来，那么，在t统计年，前1-2年进入统计的产品销售收入的成长期变化已经经历1～2年。设在t统计年新增加产品数量为△n(t)，统计出的总的新产品销售收入为：

考虑式（5）中的变量为离散变量，在t统计年产品生命周期成长期小于1年的还没有进入统计，超过3年的被淘汰，不再统计。在t统计年的统计的产品数量总数为：

由于xD(i)（i是统计年限中的某一年）与时间变量无关，在式（5）中可以看作常数，将式（5）与式（1）对比，结果是△n(t)和n(t)都是三次曲线，经过比较后可以计算出公式系数。这里要说明的是要满足新产品销售收入呈三次曲线的增长，统计的新产品数量也要呈三次曲线增长，产品生命周期曲线的形状可以是任意的，不影响新产品销售收入的三次曲线的形成，只影响三次曲线的大小和形状。

当统计年限为1年，由式（5）可以得出，统计的产品数量变化也是三次曲线。

3 结语

综上所述，河南省大中型企业新产品销售收入作为时间序列虽然时间区间较短，但是在较少的统计点上却得到统计意义明显的模型。在三次曲线的解释上，我们设定一些特定条件将其与产品生命曲线理论相联系。从式（5）可以看出，增加式（5）的项数也就是延长产品的生命周期的成长期，可以增加新产品的销售收入。在统计过程中，每种产品销售收入不尽相同，我们可以取一种产品的销售收入为一个基本单元，其他的是它的数倍，这样式（5）也成立。分析表明，新产品销售收入在短期内可能受到产品生命周期变化的影响，但是不具有长期效应。要保持新产品销售收入的快速增长，必须要培育新的经济增长点，依靠科技创新，发展数量更多、效益更好的新产品。

[1]MBA智库百科.产品生命周期理论[EB/OL].http://wiki.mbalib.com/wiki.2013-3-22.

[2]河南省统计局等.2010河南科技统计年鉴[M].郑州：河南省统计局等编，2011.

[3]MBAlib.国家认定企业技术中心2004年度交流材料[EB/OL].http://doc.mbalib.com/view/cca00 1e81d4d338d89552b108f31467e.html.2013-5-18