具有循环群和二面体群对称性的艺术图案自动生成

占小根，陈钢金

具有循环群和二面体群对称性的艺术图案自动生成

*占小根1，陈钢金2

(1.井冈山大学数理学院，江西，吉安 343009；2.安远中等职业技术学校，江西，赣州 342100)

结合对称群、动力系统和等变映射理论，构造具有旋转循环群和二面体群对称性的等变性映射，给出生成具有旋转对称性艺术图案的自动化方法，该方法可生成大量美观的艺术图案。

二等变映射；动力系统；循环群；二面体群

艺术图案可视化(Visualization of Aesthetic Pattern，VAP)研究的是运用数学原理和计算机技术来生成美观的艺术图案[1-3]，它是随计算机技术发展而兴起的一个新兴课题。VAP图案经仿真后可制成精美的工艺品，被广泛地应用在瓷砖、地毯、印刷等装饰行业，因而VAP研究具有可观的经济价值和广阔的应用前景。

具有群对称性的几何空间是VAP研究的重要方法[4-5]，基于动力系统、分形、混沌、迭代函数系统(IFS)等理论，大量文献研究了各类VAP方法[6-9]。等变映射是VAP的重要途径，它和不变映射构成了生成VAP图案的基本方法。文献[10]基于Field等的方法[2]，用不变映射的方法研究了具有循环群和二面体群对称性的艺术图案生成方法。但由于构造的映射需满足比较苛刻的条件，不利于实现VAP。利用群的封闭性，本文提出一种普适性方法，任何的映射都可用来构造循环群和二面体群的等变映射，它可以快速有效地生成美观的艺术图案。

1 基本概念和定理

步骤(4)：对区域中的每个点按步骤(1)~ (3)处理，最终完成区域的VAP图案绘制。

3 VAP图案的参数设置

4 小结

基于动力系统、群论和等变映射原理，本文给出一种简便的、可快速生成具有循环群和二面体群对称性艺术图案的自动化方法，并给出一组良好的参数设置策略。该方法可以生成丰富的、具有旋转对称性的艺术图案，可广泛应用于装饰和设计领域。

图1 具有D3对称性的VAP图案

图2 具有C4对称性的VAP图案

图3 具有D5对称性的VAP图案

Fig.4 A VAP pattern with D5 symmetry

[1] Peitgen H O, Jürgens H, Saupe D. Chaos and fractals: New Frontiers of Science [M]. New York: Springer- Verlag, 1992.

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[5] Peter S S. Handbook of Regular Patterns [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1980.

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[10] 鲁坚,吴海燕,涂广毅. 动力系统生成循环群和二面体群演化对称性图像[J].计算机与现代化, 2012, 1(6): 61-63.

[11] Field M J. Dynamics and Symmetry [M]. Imperial College Press, 2007.

AUTOMATIC GENERATION OF AESTHETIC PATTERNS WITH THE SYMMETRY OF CYCLIC AND DIHEDRAL GROUP

*ZHAN Xiao-gen1，CHEN Gang-jin2

(1. School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China;2. Secondary Vocational and Technical Schools of Anyuan, Ganzhou, Jiangxi 342100, China)

Combining with symmetry group, dynamical system and equivariant mapping theories, equivariant mappings with the symmetry of cyclic and dihedral groups are constructed to generate aesthetic patterns automatically. This method can be employed to yield fruitful artistic patterns.

equivariant function; dynamical system; cyclic group; dihedral group

O19；O 123.5

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.04.003

1674-8085(2013)04-0012-03

2013-04-17；

2013-05-02

*占小根(1980-)，男，江西上饶人，助教，硕士，主要从事数字图象研究(E-mail:63088664@qq.com);

陈钢金(1980-)，男，江西赣州人，主要从事计算机图形学研究(E-mail:474256297@qq.com).