分数阶微分方程泛函边值问题解的存在性

李瑞瑞

(解放军信息工程大学 理学院，郑州 450001)

0 引言

共振条件下分数阶微分方程边值问题得到了一些研究，如文献[1]利用Mawhin迭合度理论研究分数阶三点边值共振问题解的存在性，该研究在ker L=1时进行。文献[2]在ker L=2时研究了分数阶多点边值共振问题。文中研究共振问题:

其中:2 ＜α≤3，0 ＜ ξ≤1，δ:[0，1]→ ，f:[0，1]×R2→满足Carathe⌒odory条件。Dα0+是Riemann-Liouville分数阶导数。通常文献中定义投影算子时，需要限制一代数表达式不等于0，笔者去掉了这个条件。

1 预备知识

X，Y是实Banach空间，L:dom L⊂X→Y零指标的Fredholm算子，P:X→X，Q:Y→Y为投影算子，使得:Im P=ker L，ker Q=Im L，X=ker L⊕ker P，Y=Im L⊕Im Q，则LdomL∩kerP:dom L∩ker P→Im L是可逆的，记其逆映射为Kp，若Ω是X中有界开子集，且 dom L∩≠φ，如果QN()有界，Kp(I-Q)N:→X是紧的，则称N:X→Y在是L紧的。

定理1 L是零指标的Fredholm算子，N在Ω是L紧的，假设下面的条件成立:

(1)Lx≠λNx，(x，λ)∈[(dom Lker L)∩∂Ω]×(0，1);

(2)Nx∉Im L，x∈ker L∩∂Ω;

定义1[3]函数 f(x)在 Riemann-Liouville意义下s阶分数积分指

其中 s＞0，Γ(s)是 Gamma函数。

定义2[4]函数 f(x)，x≥0 在 Riemann-Liouville意义下s阶分数微分指

其中 n=[s]+1。

引理1[5]设u∈C(0，1)∩L(0，1)，且u∈C(0，1)∩L(0，1)，α ＞0 则

引理2[6]存在p ＞ 1，p∈+，使得e≠0。

引理3 L:dom L⊂X→Y零指标的Fredholm算子，定义线性投影算子Q:Y→Y为

其中:

线性算子Kp:Im L→dom L∩ker P为

由边界条件(2)和条件(C):T1y=T2y=0，所以

对 Qy=Q1y+Q2y·tp-1，

同理可证:

所以对y∈Y，Q2y=Qy，即Q:Y→Y连续线性投影算子。

下证ker Q=Im L。显然 Im L⊂ker Q，若 y∈ker Q，则 Q1y=Q2y=0，即:

所以 T1y=T2y=0，即 y∈Im L，故 ker Q⊂Im L。

对y∈Y，令 y=(y-Qy)+Qy，则 y-Qy∈ker Q=Im L，Qy∈Im Q，故 Y=Im L+Im Q;对 y∈Im L∩Im Q，用反证法易知:y=0，所以Y=Im L⊕Im Q。

定义P:X→X为

易证P是连续线性投影算子，X=ker L⊕ker P。

定义KP:Im L→dom L∩ker P为

下证KP为的逆映射。

引理4 Kp(I-Q)N全连续。

证明 类似文献[1]。

2 主要结果

定理2

(1)若有函数 ψ，g，h∈L1[0，1]，使得

(3)存在常数 B＞0，使得一切 c1，c2∈ ，只要

证明 (1)令 Ω1={u∈dom Lker L Lu=λNu，λ∈(0，1)}，取 u∈Ω1，则 Nu∈Im L，故有

由定理2(2)存在 t0∈[0，1]，使得

因为

所以

则

所以

又

综上:

故存在M1＞0，M2＞0，使得M2，故Ω1是有界的。

(3)定义J:ker L→Im Q为

所以

所以

λ=1时，c1=c2=0。

由上讨论:

(1)Lu≠λNu，(u，λ)∈ [(dom Lker L)∩∂Ω ]×(0，1)，

(2)Nu∉Im L，u∈ker L∩∂Ω。

只需证定理1中(3)成立。

作同伦方程

故 H(u，λ)≠0，u∈∂Ω∩ker L。

由同伦不变性知:

则方程Lu=Nu在dom L∩Ω至少有一个解。即结论得证。

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