基于变导程的螺旋副弹性接触研究

张 威，史 翔，李东波

（1. 南京理工大学 机械工程学院，南京 210094；2. 南京工程大学 机械工程学院，南京 210094）

0 引言

变导程螺旋传动在80年代就有人提出，并且在电梯传动中应用。随着机械制造行业的快速发展，变导程螺旋传动作为新兴的传动方式被广泛应用。可以根据需求，设计丝杆的转动与螺母的直线运动各种非线性关系。经过长期的试验和设计，目前在地铁上已经得到了初步应用。螺母副是该机构的关键部件，在变导程条件下，传动滚子与丝杆的弹性接触需要进一步分析。本文应用微分几何理论对滚子和螺旋槽的主曲率进行理论计算[1]，并根据Hertz弹性接触理论对变导程条件下滚子受力和弹性变形进行分析，对于研究变导程螺旋传动机构的疲劳寿命有重要意义。

1 变导程螺旋传动机理

图1 变导程螺旋传动机构示意图

图1是一个变导程螺旋机构，丝杆的导程是变化的。销轴3与丝杆的螺旋槽5啮合而进行运动和力的传递，销轴3在螺旋槽5中引导轴套沿着螺旋槽轨迹运动，使螺母按照导程的变化运动。在大导程H 1和H 2段，轴向移动速度高；在小导程H3段，轴向移动速度低；当小导程H4的导程小到一定程度时（螺旋升角小于其摩擦角时），螺旋副可以自锁。即同一螺旋副传动，既可以实现变速传动、非自锁传动与自锁传动以及它们之间多种运动的组合。

图2 变导程丝杆展开图

将变导程螺旋传动丝杆沿圆周展开成二维平面，如图2所示。可以看出，对于变导程螺旋传动，其丝杆的导程沿丝杆轴线变化。在二维平面上，变导程丝杆螺旋槽与滚子间是高副接触，若变导程丝杆1为主动件，则滚子上受驱动力矩M和合力R，因此，作用在螺旋副上的驱动力，通过滚子传递动力和运动。所以若螺旋槽5的宽度不小于销轴3的直径D，螺母2就可以和任意变导程丝杆1构成变导程螺旋副完成变导程螺旋传动。

2 变导程螺旋传动副线接触

图3为可变导程螺旋副示意图，图中E为滚子与丝杠的接触点，E＇为铣刀与螺旋槽相切点，R为丝杠半径，r为圆柱滚子半径，L为滚子长度，r'为铣刀半径，螺旋升角为λ，W为载荷。其中虚线圆是加工螺旋槽的铣刀外轮廓，实线圆是滚子外轮廓。显然，若滚子与铣刀尺寸相同时，滚子与螺旋槽是线接触；若滚子半径小于铣刀半径时，则滚子与螺旋槽的接触有线接触和点接触两种可能。

图3 滚子与螺旋槽线接触示意图

丝杆在加工过程中，螺旋槽侧面是铣刀外圆的包络。如果滚子与铣刀外径相等，则在传动过程中滚子始终与螺旋槽保持线接触。而在实际装配中，由于滚子半径小于铣刀半径，这样在滚子与丝杆接触时，若滚子与螺旋槽接触点E和铣刀与螺旋槽相切点E＇重合时，则滚子与螺旋槽还是线接触。

滚子轴线与丝杆轴线的距离：

滚子与螺旋槽之间的接触类型为线接触的条件为满足式(1)。

设圆柱螺旋线所在圆柱的曲面S (t,z)，t 为丝杆旋转角度，z为轴向坐标，则其曲面参数方程为：

则螺旋槽曲面的第一基本形式和第二基本形式分布为：

丝杆外轮廓螺旋线法曲率为：

因为变导程螺旋线任一点处曲率[2]为：

则变导程螺旋线测地曲率为：

根据赫兹弹性接触理论，接触区半宽b为：

其中E为当量弹性模量，由式(8)决定：

式中，1E，2E为丝杆和滚子的弹性模量，1μ，2μ为泊松比。

3 滚子与螺旋槽点接触

若不满足滚子与螺旋槽接触点E和铣刀与螺旋槽相切点E＇重合条件，滚子与螺旋槽必然是点接触。图4是螺旋传动时滚子与螺旋槽的接触示意图。当导程不变情况下，该接触等效为两个垂直圆柱体的点接触。相当于当丝杠转动时，未变形前，滚子与螺旋槽的接触是点接触，受法向力W作用时，接触处发生变形。很明显，椭圆的短轴和长轴尺寸与两接触面曲率半径有关。根据赫兹弹性接触理论，各点的变形不同，而且接触应力也不是常数，在接触中心，变形最大，因而压力也最大，设maxp 表示中心处的最大压力。应力根据赫兹弹性接触理论，压力大小与变形的大小成比例，因此自中心处向四周压力逐渐减小。

图4 滚子与螺旋槽点接触示意图

端面上的变形呈椭圆形，故端面上各点的压力σ也按椭圆规律变化，即：

接触椭圆长、短半轴分别为a、b，由弹性理论可求得：

na为接触区域长半轴系数，即滚子主曲率半径方向；

nb为接触区域长半轴系数，即螺旋槽的接触处主曲率半径方向；

∑ ρ为曲率和，即：

式中， E(e) 是关于椭圆率e的第二类完全椭圆积分，即将式(11)代入式(10)，得最大接触应力：

4 结论

1) 变导程螺旋传动中，滚子与螺旋槽实现线接触的条件是在铣刀和滚子轴线均与丝杆轴线垂直时，丝杆外径处滚子与螺旋槽的接触点必须是铣刀加工螺旋槽时的切点。

2) 若导程不变，则线接触等效为一弹性圆柱与刚性平面的接触问题；若导程变化，则线接触的半宽b沿着丝杆方向变化，且与螺旋升角的变化率有关。

3) 在点接触情况下，接触点位于螺旋槽外轮廓，且等效为两垂直弹性圆柱接触问题。

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