磁电超材料折射率特性分析*

徐新河 吴夏肖绍球甘月红 王秉中

1)(南昌航空大学,南昌 330063)

2)(电子科技大学应用物理研究所,成都 610054)

(2012年11月13日收到;2012年12月28日收到修改稿)

1 引言

磁电超材料[1]单元(magnetoelectric metamaterials)是由磁导率实部小于零的磁元件(magnetic component)和介电常数实部小于零的电元件(electric component)在空间排列而形成的,并且在磁电超材料单元内磁元件和电元件存在着相互作用.在1996年,Pendry等[2]在微波频段内设计实现了等效介电常数为负的周期排列的金属线阵列结构,当工作频率小于等离子频率时,金属线阵列具有负的介电常数.在1999年,Pendry等[3]又提出了利用导体开口谐振环阵列结构实现负磁导率的思想,Smith等[4]根据Pendry的理论,将开口谐振环(磁元件)和金属线(电元件)两种结构结合起来,首次制造出介电常数和磁导率同时小于零的双负材料(也称异向介质、负折射率材料,磁电超材料[1]),且在实验中观察到了负折射现象.近年来,许多科研人员在磁元件结构、电元件结构以及两者复合构成负折射率材料上做了大量的研究工作[5-12],但是对于磁电超材料的折射率与其磁元件的磁导率和电元件的介电常数之间的函数关系的研究,据我们所知只有极少文献涉及.由于磁电超材料是人工材料,其折射率无法预先知道,所以通常是利用仿真或实验测得的散射参数(即S参数),通过一定的算法间接获取[13-17],这对于设计负折射率符合一定要求的磁电超材料带来巨大的困难.文献[18]从场平均角度,利用有效媒质理论分析了磁电超材料的色散关系,但是此色散关系的表达式并没有包含磁元件和电元件的相互作用,文献[1]对双各向异性(bianisotropic)磁电超材料中磁电耦合(magnetoelectric coupling)进行了分析.

本文从麦克斯韦方程出发,将磁电超材料板中磁元件等效为面磁流,将电元件等效为面电流,利用周期性边界条件和叠加原理推导出了周期性磁电超材料的折射率与其磁元件的磁导率、电元件的介电常数之间的函数关系.由于该函数关系是通过求解总电场和总磁场获得的,并且面磁流和面电流之间有约束关系,因此磁电超材料的折射率包含了磁元件和电元件之间的相互作用.磁电超材料折射率理论公式直接描述了磁导率、介电常数和空间色散(spatial dispersion)项对磁电超材料折射率的影响.本文的第三部分利用HFSS(high frequency structure simulator)仿真实验数据对导出的磁电超材料折射率理论公式进行了验证.

2 磁电超材料折射率理论解析式

设磁电超材料单元中的电元件相对介电常数和磁元件相对磁导率分别为εr和µr,根据无源麦克斯韦旋度方程

上式ε0和µ0分别是空气的介电常数和磁导率,ω是角频率.将(1)和(2)式的右边分别等效为体电流密度和体磁流密度,即

从(3)和(4)式可以看出,电流与磁电超材料单元中的电元件介电常数相关联,磁流与磁电超材料单元中的磁元件磁导率相关联.如果图1所示的磁电超材料板的厚度h很小,那么磁电超材料板内的电流和磁流可以认为是在一个平面上流动.另外这些电流和磁流所在的平面垂直z轴,并且在z轴的坐标为md,整数m的取值范围是(-∞,∞),d是磁电超材料板在空间排列的周期.对于z=md的平面,根据(3)和(4)式,其面电流密度和面磁流密度分别为

式中,h是磁电超材料板的厚度.需要说明的是上式中的E(z)和H(z)分别是总电场强度和总磁场强度.在图1中,磁电超材料是由磁电超材料板在空气中周期性排列而形成的,设周期性结构中的Bloch波的传播方向为+z方向,磁电超材料等效面电流密度矢量和等效面磁流密度矢量方向分别为+x和+y方向.根据周期性边界条件,在z=md平面上的面电流和面磁流密度必须具有下列形式：

Js和Ms分别是面电流和面磁流的幅度,它们与空间坐标位置无关,β是周期性磁电超材料的传播常数.首先考虑图1中仅存在一个z=md平面的情况,设该平面的法向方向为+z方向,根据电场和磁场在此平面的边界条件(见(13)式和(14)式),可以确定电场和磁场矢量方向分别为x和y方向,因此可以设定该平面上的电流和磁流在z＞md和z＜md这两个半无限空间激起的平面波电场和磁场分别为

式中A+和A-是由边界条件确定的常数,k0=ω是空气的传播常数,η0=是空气的波阻抗.平面z=md上的电场和磁场边界条件为[19]

n是平面z=md的单位法向矢量,其方向为+z方向,即n=ez,用md替代(7)—(12)式中的z后,再代入(13)和(14)式,可以得到

图1 周期性磁电超材料的等效面电流和等效面磁流

求解(15)和(16)式可得

将(17)和(18)式分别代入(9)—(12)式中,可以求出单个平面z=md上的面电流和面磁流在两个半空间产生的平面波：

另外,上式中并没有给出在平面z=md上的电场和磁场,为此,在平面z=md上的电场和磁场可以定义为

(19)—(24)式给出了单个平面上的面电流和面磁流在整个空间产生的电场和磁场.下面将据此求解出如图1所示的周期性磁电超材料板在z=nd面上产生的总电场和总磁场.根据叠加原理,在z=nd平面上的总电磁场是各个面的面电流和面磁流在此平面上产生的电磁场的线性叠加.将nd替代(19)—(22)式中的z变量,同时将n替代(23)和(24)式中的m,并对变量m求和,分别得到平面z=nd上的总电场和总磁场

根据(5)—(8)式,并令m=n可以得到

在上式推导过程中,使用了等式E(nd)=En,total和H(nd)=Hn,total,也就是说E(nd)和En,total都是描述在z=nd平面上的总电场,H(nd)和Htotal,n都是描述在z=nd平面上的总磁场.将(25)和(26)式分别代入(27)和(28)式得到

从(29)和(30)式可以发现,面电流幅度Js和面磁流幅度Ms并不相互独立,它们要受到上面两个方程的约束.求解(29)式,可以得到

将(31)式代入(30)式,可以得到周期性磁电超材料的色散关系：

解出β,可得

如果定义平均相对磁导率和平均相对介电常数为

(33)式可以表示为

(35)式与文献[18]中推导的色散关系计算公式完全不同,这是因为文献[18]的推导过程没有考虑电元件和磁元件之间的相互作用.周期性结构的传播常数β与其折射率n有下列关系

将(36)式代入(33)式得到周期性磁电超材料的折射率

上式说明,由相对介电常数为εr的电元件和相对磁导率为µr的磁元件构成的周期性磁电超材料,其材料的折射率n与相对介电常数εr和相对磁导率µr之间存在着复杂的函数关系.从前面的分析可知,电元件与面电流相联系、磁元件与面磁流相联系,同时面电流幅度Js和面磁流幅度Ms通过(29)式和(30)式相互约束,因此是磁电超材料中的电元件和磁元件之间的相互作用导致了折射率n与相对介电常数εr,相对磁导率µr之间的复杂的数学关系.而这种复杂的数学关系对于人们研究磁电元件的相互作用和相互影响,以及设计负折射率磁电超材料等方面将提供重要的理论依据.利用(34)式,(37)式可表示为

(38)式表明周期性磁电超材料的折射率还是空间色散(spatial dispersion)项k0d的函数.

3 磁电超材料折射率理论值与仿真实验结果的比较

为了验证(37)式的正确性,我们选取了如图2(a)所示的导体线作为磁电超材料的电元件,电元件附在介质表面,线的宽度a=0.2 mm;选取了图2(b)所示的导体开口谐振环作为磁电超材料的磁元件,其结构参数b=2.6 mm,c=0.4 mm,g=0.04 mm,磁元件也是附在介质表面;图2(c)中的电元件和磁元件分别附在介质的两个表面,其中电元件和磁元件的尺寸分别与图2(a)和2(b)相同.这三个图中的介质材料是Rogers RT/duroid 5880(tm),其相对介电常数为2.2,损耗正切为0.0009,介质板厚度e=0.25 mm.电元件和磁元件的导体材料均为铜,其厚度为0.017 mm.图2(d)是一个磁电超材料单元仿真图,单元的周期d=3 mm,波的极化和传播方向如图2(d)所示.

图2 磁电超材料单元 (a)电元件;(b)磁元件;(c)电元件和磁元件的组合;(d)一个磁电超材料单元的HFSS仿真图

作为电元件的导体线的相对介电常数为[20]

作为磁元件的导体谐振环的相对磁导率为[1]

(39)和(40)式中的εa,f0e,µa,fpm,f0m和γm是与电或磁元件的结构、导体材料有关的参数.利用高频电磁仿真软件HFSS 13分别对仅电元件构成的负介电常数人工材料(图2(a))、仅磁元件构成的负磁导率人工材料(图2(b))、以及电元件和磁元件构成的磁电超材料(图2(c))进行了仿真,根据文献[13,15]提取了电元件的相对介电常数、磁元件的相对磁导率和磁电超材料的折射率,结果分别如图3—6所示.从这些图可以发现,由导体线(电元件)组成的人工材料在5—15 GHz频率范围内其相对介电常数的实部均小于零,开口谐振环(磁元件)组成的人工材料在10.2—12 GHz频率范围内其相对磁导率的实部小于零,磁电超材料折射率实部的提取值(图5中的虚线)在9.8—12.2 GHz频率范围内小于零.

图3 电元件人工材料的相对介电常数提取值曲线

图4 磁元件人工材料的相对磁导率提取值曲线

图5 磁电超材料折射率实部的理论值和提取值曲线

为了绘制磁电超材料折射率与频率关系的理论曲线,必须要确定(37),(39)和(40)式中εa,f0e,µa,fpm,f0m,γm和h等参数数值.为此,把(39)和(40)式代入(37)式后,对图5中的虚线(磁电超材料折射率实部的提取值)进行非线性拟合,得到了这些参数的数值,结果如表1所示.

表1 (37),(39)和(40)式的参数数值

有了表1中的参数,根据折射率计算的理论公式(37)式,可以绘制出磁电超材料折射率实部和虚部与频率关系的理论曲线,如图5和图6中的实线所示.从图5和图6可以看出,无论是折射率实部还是虚部的理论曲线与基于仿真实验数据的提取值曲线符合得非常好,这说明本文推导的磁电超材料折射率(37)式是正确的.

图6 磁电超材料折射率虚部的理论值和提取值曲线

4 结论

传统的电磁理论认为,材料的折射率是材料的相对磁导率与相对介电常数积的开方,即n=,但此公式不适合描述周期性磁电超材料折射特性.原因有两个：1)磁电超材料空间的周期性决定了磁电超材料的折射率必定包含空间色散项即k0d;2)磁电超材料的电元件和磁元件之间存在相互作用.本文将磁电超材料等效为面电流和面磁流,利用周期性边界条件和叠加原理,通过计算空间总电场和总磁场,建立了关于面电流密度幅度和面磁流密度幅度方程组.从方程组可以看出,面电流和面磁流并不是独立的物理量,它们的取值要受到方程组的约束.这说明磁电超材料中电元件和磁元件存在着相互作用,因此磁电超材料的折射率与电元件的介电常数、磁元件的磁导率和空间色散项有着复杂的函数关系,而这种关系对于研究介电常数、磁导率和空间色散项对磁电超材料折射率的影响提供了重要的理论基础.另外,磁电超材料折射率理论值曲线与基于仿真实验数据的提取值曲线之间误差很小,这说明本文推导的折射率理论计算公式在描述周期性磁电超材料的负折射特性方面是十分有效的.

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