电磁感应浮力演示装置实验及分析＊

杜 妍，杨玉华

（1.天津大学电气与自动化工程学院，天津300000；2.华北电力大学数理系，河北保定071003）

1 引言

电磁悬浮技术是集电磁学、电子技术、控制工程、信号处理、机械学、动力学为一体的机电一体化技术。随着电子技术、控制工程、信号处理元器件、电磁理论及新型电磁材料的发展和转子动力学的进展，磁悬浮技术得到了长足的发展［1]。电磁悬浮技术在各个领域的应用越来越广泛，并已成为进行相关高科技研究的重要手段。电磁学实验是用实验的方法去研究电磁学理论的规律。目前关于电磁感应浮力实验的演示及实验现象的分析信息量相对较少，而电磁感应原理已广泛应用于诸多科研领域。因此，对电磁感应浮力实验演示及实验现象的分析是十分必要的。自行设计加工制成了交流电电磁感应浮力演示装置，对实验原理及现象进行了探讨，研究成果可用于教学展示、科研等方面参考。

2 电磁感应浮力实验原理分析

2.1 实验装置简介

演示实验装置主要由一个铜线圈和一块铝板构成。实验过程概述如下：在铜线圈l内通入交变电流i，下方放置铝板，则铝板处将有磁场产生。此磁场会激发出电场和涡流。涡流将进一步产生反作用于线圈的磁场，使线圈受到一个电磁感应浮力，最终克服重力产生悬浮效果。实验装置模型如图1所示。

2.2 交变电流产生磁场

根据毕奥－沙伐定律，有：

式中：idl为元电流，R为线电流回路到作用点之间的距离。

i-Bz几何关系如图2所示，可以推出B点所受电磁磁感应强度B的大小：

其中，idl为元电流，R为线圈半径，r为涡流半径，α为r与y轴夹角，l为线圈上B点到A点的距离，ε为dl和eR之间的夹角。线电流回路产生的磁场呈对称分布，如图3所示。

图1 实验装置模型图

图2 i-Bz几何关系分析图

图3 线电流回路产生的磁场分布示意图

对线电流回路产生的磁场进行进一步分析可知，磁场的水平分量将左右抵消，因此真正作用在图2中A点的只有磁场的垂直分量Bz。通过数学推导我们得到Bz的表达式：

其中 i＝imsinwt。

2.3 由磁场产生电场及涡流

法拉第电磁感应定律告诉我们，交变磁场B和它感应出的电场强度E之间存在微分关系：

利用柱坐标系，可求得Bz感应出的电场强度：

其中ρ为涡流回路半径微元。根据磁感应产生的情况分析，我们认为E只有φ方向而无ρ和Z方向分量，所以Eφ对Z的偏导为零。从而

麦克斯韦方程组揭示了涡流和它激发它的电场之间的定量关系：

注意，此处考虑到铝板电感，增加了jwl一项。其中R0为铝板电阻。

2.4 由涡流产生反作用于线圈的磁场及电磁感应浮力

首先计算涡流J产生的电流大小为：

图4 J-F几何关系分析图

其中d0为面积微元的厚度。

J－F几何分析如图4所示，并将（9）式代入毕奥-沙伐定律，有：

B′方向为平面δ（涡流J方向和两点距离方向矢量确定的平面）的法线方向。B″方向为水平方向。设ε为平面δ与水平方向的夹角，γ为B′和水平方向的夹角，则ε与γ互为余角。由于最终要求的浮力是垂直向上的，因此这里需求B′的径向分量Br。由图4可知：

利用法拉第电磁感应定律求得线圈所受电磁感应浮力为：

由电磁感应浮力F的最终表达式可以看到，（12）式中包含因子sinwt·coswt，由数学知识易知sinwt·coswt＝1／2sin2wt，此时线圈在一个周期内所受浮力平均值将为0。考虑到实验中用于产生涡流的铝板内除有电阻外还有电感存在，因此在上述（8）式分母位置上增加jwl一项，使sinwt产生90°相位偏移，此时浮力平均值不再为0。并且我们认为 wl＞＞R0，从而有：

本实验中仅讨论铝板内存在的自感。在各向同性的线性介质中，如磁场由某一电流回路产生，则穿过此回路所限定面积的磁通，与回路中电流有正比关系，也就是与回路相交链的磁链ψL和电流成正比：ψL＝LI；磁路中磁动势、磁通和磁阻的关系为F＝φ·R；磁链又等于导电线圈匝数N和穿过该线圈的各匝的平均磁通量φ的乘积：ψL＝Nφ。当电流一定时，产生的磁动势一定，所以磁阻越大，磁通就越小，计算出的铝板电感也就越小。实验中将用铁芯和铁板搭建成铁磁回路，因为铁的磁导率远远大于空气，所以铁磁回路可以增大磁通，进一步增大电感，防止电磁感应浮力为零的现象发生。

3 仿真分析

因为此实验推导出的最终公式中的积分无法求出解析解的表达式，所以难以对电磁感应浮力进行定量讨论。但利用微元法及Matlab软件可以近似测绘出电磁感应强度Bz、涡流J和涡流回路半径r之间的定性关系曲线，如下所示。

表1 仿真参数表

3.1 仿真参数与仿真数据图

3.1.1 Bz随涡流环路半径r的变化趋势

取涡流半径为0.1mm，通入1A电流时产生的Bz从圆心开始随半径的变化趋势如图5所示，可以看出，圆心处磁感应强度最大，并且磁感应强度随半径增大而减小。

3.1.2 J随涡流环路半径r的变化趋势

图5 Bz曲线

图6 J曲线

取涡流半径为0.1mm，通入1A电流时产生的J从圆心处开始随半径的变化趋势如图6所示，可以看出，圆心处电流密度最大，并且电流密度随半径增大而减小。

4 电磁感应浮力实验过程、现象及分析

4.1 实验装置及参数

基于上述分析，可设计出电路图如图7所示，并给出相关实验参数。将线圈、数字万用表、保险装置、自耦调压器依次串联。其中，铁芯和铁板构成磁回路，铝板用于产生涡流及感应磁场，万用表打在电流档，用于测量电路中电流大小，自耦调压器用于逐步增大电压。

图7 实验电路连接图

4.2 实验过程详述

4.2.1 完整铁磁回路条件下的磁悬浮现象

按上述电路图连接好电路并检查无误后，闭合开关，逐步增大电路中电压使电流增大。当电流达到一定数值时，可以看到线圈在电磁感应浮力和重力共同作用下向上升起，且达到一定高度时，处于动平衡悬浮状态。由于电磁感应浮力是一种震荡性质的力，因此线圈是一种悬浮振动。另外线圈的温度也显著升高，这是由于感应电流的热效应所致。观察过程中及时记录下通入电流的大小及对应线圈升起的高度。考虑到铜线圈承受的最大电流为20A，当万用表示数接近20A时应立即断电，线圈下落。

4.2.2 非完整铁磁回路条件下的磁悬浮现象

将铝板上放置的铁芯取走，只保留一半铁磁回路，再次按上述步骤进行试验，可以观察到当通入同样大小的电流时，线圈上升的高度明显小于第一次实验。

4.2.3 实验数据记录

实验过程中记录在完整铁磁回路和非完整铁磁回路两种情况下的起飞电流，最大电流（断电时电流）及线圈升起的高度，数据整理如下。

从表3中可以看出，铁磁回路的完整与否对实验结果有很大影响，原因解释如下：在铁磁回路不完整时，因为空气的磁导率远远小于铁芯磁导率，所以磁通、电感同时减小，因此电磁感应浮力也显著减小。

表2 实验参数表

表3 测量数据表

5 优化电磁感应浮力的设想

为了使电磁感应浮力演示装置的磁悬浮效果更好，结合上述分析提出以下设想：

（1）线圈应缠绕均匀，以便在实验过程中线圈各部分受力均匀，悬浮更为稳定。

（2）线圈形状应尽可能接近扁平状，以增大线圈半径，从而增大浮力。

（3）提供较强的磁场。

［1] 冯慈璋，马西奎.工程电磁场导论［M] .北京：高等教育出版社，2007.

［2] 刘自华，汤光华，隆 平，贺新元，何志杰.电磁感应浮力演示装置实验分析［J] .实验科学与技术，2009，（7）：26－29.