基于中弧线-厚度函数的翼型形状解析构造法

姜海波， 赵云鹏

（海军工程大学勤务学院，天津 300450）

翼型的设计方法大致可分为反设计法和优化设计法两类。反设计法由给定的目标压力分布通过计算机逆向多次迭代求解气动外形[1-2]，这些翼型可能具有较高的升阻比，但由于多数是在单个设计点上设计的，在工况偏离设计点时升阻比会变差，失速特性不理想。为提高翼型的综合性能，以遗传算法为代表的优化设计方法得到较快发展，该方法直接以气动性能为目标进行外形设计，可以按要求对翼型提出各种约束[3-4]，其缺点是计算工作量大，约束越多计算时间越长。

翼型的形状决定了流场的压力分布和翼型的性能，是流动分析的基础和关键。不论是反设计还是优化设计，不论是单目标还是多约束，最终都要归结到流体对形状作用的正问题上来，只不过增加了多次微调形状、计算并优选具有“最佳性能”形状的过程。所以翼型形状的表达方法十分重要，它关系到后续计算全过程的效率高低和翼型综合性能的优劣。

翼型的几何形状可采用多种方法描述，主要有外形参数化方法、形函数扰动法、解析函数法3种。外形参数化方法用多个参数描述翼型各个部位的几何尺寸，设计变量有明确的几何意义，但不给出解析表达式[5-6]。形函数扰动法由原始翼型和扰动形函数的线性叠加决定外形[7]，形函数一般采用 Hicks-Henne函数[8]，这种方法对原始翼型的几何数据依赖性很强，如果原始翼型的外形不光滑，那么设计翼型的外形也不光滑，而且直接影响到压力系数曲线的光滑性。另外这种方法不能改变初始翼型的前缘半径和后缘角等几何参数[9]。解析函数法就是用一个解析函数直接表示翼型形状，例如早期用多项式表达的NACA 4位数、5位数系列翼型，近期也有研究用级数表达翼型的方法[10]。这些方法适合表示静态翼型，因为参数变化对形状全局都会产生很大的影响，微调效果不好，遗传算法难以找到合适的个体编码方式。

如果解析函数结构简单、参数几何意义明确、微调效果又好，那么结合计算机强大的优化设计能力，就容易得到性能更优良的翼型。为此，本文探讨一种用中弧线-厚度函数定义的解析函数来构造复杂翼型的方法。

1 儒科夫斯基翼型型线表达式的简化

儒科夫斯基翼型型线表达式为[11]

其中z为翼型型线相对于弦长的无量纲纵坐标，yC为翼型型线相对于弦长的无量纲横坐标（横轴与翼弦方向一致）；δ为最大厚度与弦长的比值，称为相对厚度；ε为翼型中弧线到翼弦的最大距离与弦长的比值，称为相对弯度。式(1)最后一项取正号时表示上型线，取负号时表示下型线。上式根号内含有弯度项，且弯度在分母，表达式比较复杂，为化简，对该式关于ε进行泰勒级数展开

忽略3次及以上阶次小量

这是弦长中点位于原点的翼型表达式。式中第 1项为翼型的中弧线，其最大值为ε，由该值确定翼型的弯度。第2项表示厚度，取正号时为上表面型线，取负号时为下表面型线。容易证明上下型线之间距离的最大值为δ。分别取δ=0.2，ε=0及δ=0.2，ε=0.1，式(3)表示的翼型形状分别如图1、图2所示。

图2 弯度为0.1的翼型构造示例

将前缘移至原点可进一步简化式(3)，令

则有

将式(4，5)代入式(3)

这是前缘在原点的儒科夫斯基翼型型线的解析表达式。

2 一般翼型型线的函数构造方法

在函数表达式中，变量的系数和指数（统称为参数）对函数图像形状产生显著的影响。为构造一般翼型型线形状函数，将儒科夫斯基翼型型线表达式的系数和指数扩展为一般形式，参考式(7)定义形状函数为

式中，p、a、b、q、c和d均为大于0的常数。儒科夫斯基型线函数可认为是该式的一个特例。

该式的第1项表示翼型的中弧线，由3个参数控制中弧线的形状：系数p控制整体中弧线的高低，y的指数a控制前端中弧线的高低，(1-y)的指数b控制后端中弧线的高低；该式第2项表示翼型的厚度，由3个参数控制厚度变化趋势：系数q控制整体厚度趋势，y的指数c控制前端厚度，(1-y)的指数d控制后端厚度。

这6个参数的增大或减小都会影响形状，相对于基准图形的影响趋势列入表1中，这里用于比较的基准图形的参数为p=0.4,a=1,b=1,q=0.3,c=0.5,d=1.5（儒科夫斯基翼型）。

式(8)第1项为中弧线项，第2项为厚度项。从表1可以看出，翼型型线的形状取决于中弧线走势和厚度的变化。这种用调整中弧线和厚度参数构造翼型型线的方法，本文称为“中弧线-厚度函数构造法”。

表1 参数变化对翼型形状的影响

参数变化对形状的影响趋势有很强的规律性。p是中弧线项的系数，p增大翼型中弧线就会成比例增高，弯度就会增大。q是厚度项的系数，q增大厚度会成比例扩展。底数为y的项对翼型前端形状影响较大，底数为(1-y)的项对后端形状影响较大，它们都是小于1的数，因此指数增大所在项反而变小。式(8)中每一项、每个系数或指数的几何意义都很明确，而且表达式并不复杂（仅有 6个参数），因此，方便构造多种形态的翼型。

3 复杂翼型型线的函数构造方法

为适应构造更复杂翼型形状的需要，可以考虑分离上、下型线并重新组合。用下标u、l分别表示上、下型线，则式(8)可扩展为如下形式

下型线和对应中弧线始终保持为基准形状（实线），改变上型线参数时图形的变化趋势（虚线）如表2所示。上型线和对应中弧线始终保持为基准形状（实线），改变下型线参数时图形的变化趋势（虚线）如表3所示。

表 1～表 3的所有示例是在基准形状基础上仅调整单一参数得到的图形趋势，如果同时调整多个参数，那么图形的变化形式将会是多种多样的，因此，可以通过调整参数给出众多翼型的解析表达式。

需要注意的是，在上、下型线分离、进行不同组合的情况下，翼型的实际中弧线和厚度需重新计算。最终中弧线的表达式为其最大值fεmax就是翼型的弯度。翼型最终上、下型线之间的距离为

其最大值fδmax就是翼型的厚度，该值可作为优化设计中的约束项之一。

表3 下型线参数变化对翼型形状的影响

4 光滑尾缘翼型型线的函数构造方法

前述翼型的尾缘为两条曲线的交点，尖锐尾缘翼型在很多场合强度不能满足实际工作的需要，必须设法用解析函数构造光滑尾缘翼型。

实际上尾缘仅与厚度有关，因此只需在前述所有公式后再增加一个厚度项就能解决问题。这里的主要技巧在于把光滑前缘的方法用在尾缘处，以上述基准翼型示例分析如下。

基准翼型型线函数为

该式表示的型线图形如图3(a)所示。前缘的光滑性取决于厚度项（第2项）中y的指数0.5，这个值只能微调或不调才能保持前缘光滑。尾缘光滑性则由(1-y)的指数确定，当其值从1.5调整到0.5左右时，尾缘必定是光滑的。但是这种调整会导致翼型型线形状发生巨大变化，例如对换这两项的指数，那么翼型就会水平翻转（如图3(b)）。解决的方法是在式(8)或式(13)中再增加一个厚度项，调换指数位置，并调低该项系数值（以减少对前端形状的影响），例如变换为以下形式

该式表示的型线图形如图3(c)所示。如果在式(14)的第3项中增大y的指数，例如由1.5增大到6，那么与图3(a)比较，翼型前端的形状基本不变，而尾缘变化明显如图3(d)所示。

图3 光滑尾缘翼型的构造过程

根据以上分析，具有光滑尾缘的翼型型线函数可表示为以下形式

其中r

5 结 束 语

本文将儒科夫斯基翼型型线表达式简化为中弧线-厚度函数表示的解析式，利用其结构简单的特点进一步扩展了参数范围，提出了中弧线-厚度解析构造法，给出了通过调整参数大小生成众多不同翼型形状的简单方法，适合在翼型设计优化过程中使用。本文还对复杂翼型，特别是尾缘光滑翼型给出了单一解析构造函数，避免了采用分段函数或叠加多项式带来的诸多麻烦和困难。可以看出，复杂翼型的几何形状可通过有限个参数的解析函数表达，这些参数不仅数量少，具有明确的几何意义，而且使用方便，便于调整翼型的局部形状。

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