基于模糊偏好信息和WGA算子的多属性决策分析

周庆健，焦 佳，杨德礼

(1.大连理工大学管理与经济学部，辽宁大连116024;2.大连民族学院理学院，辽宁大连116605)

多属性决策是决策者在考虑多个属性的情况下，对方案集进行排序并择优的决策问题，是现代决策科学的一个重要组成部分，在诸多领域中有着广泛的应用。一般说来，多属性决策可分为两个步骤:(1)获得相应决策信息。它一般包括两个方面，即属性权重和属性值。(2)通过一定方式对决策信息进行集结并对方案集进行排序和择优。在多属性决策问题中，决策者往往对决策属性有自己的主观偏好，因此有主观偏好的多属性决策问题受到了众多关注和研究。目前现有的决策方法有:模糊集法、粗糙集法、概率方法和 AHP法等［1-6］。其中文献［1，5］对属性值为实数的多属性决策给出了WGA算法，文献［2］中给出了数据的集结方法，文献［3-4］研究了考虑决策者风险偏好的多属性决策方法，文献［6］应用AHP法研究多属性决策，文献［7］作者应用OWA算法研究了区间型多属性决策问题。

结合以上研究，本文对含有决策者偏好信息的实数型多属性决策问题提出了一种新的简洁实用的决策分析方法。应用隶属函数概念表示决策者对属性的偏好信息，然后将隶属函数转化为属性的权重向量，接着应用WGA算子进行方案集的排序与择优，最后给出一个实例。

1 基本概念

1.1 多属性决策

定义1 多属性决策是指决策者为达到某一特定目标，在具有多个属性的多个可行方案下集中按一定方法排序并择优的决策过程。

多属性决策一般有如下几个方面内容:

(1)决策者——决策的主体;

(2)明确合理的目标——多属性决策的出发点和归结点;

(3)多个备选方案作为决策客体;

(4)多个属性;

(5)不同量纲——每个属性使用不同的物理量纲;

(6)属性权重——反应每个属性相对重要性的信息。

1.2 模糊偏好信息

偏好是决策者主观意识的外在表现，是决策者在设计决策方法和构建决策模型时必须考虑的重要因素。决策者对不同的属性都有一个偏好顺序。对于某一多属性决策问题，设X=(x1，x2，…，xn)为方案集，Y=(u1，u2，…，um)为属性集。

定义2 设在某论域U上给定一个映射

则称A为U上的模糊集，A(u)称为A的隶属函数。特别的当A(u)仅取0和1时，模糊集A就退化为普通集合［8］。

基本性质 令A和B为论域U中的模糊集，对于任意U中的元素u:

(1)A=Φ，当且仅当 A(u)=0，A=U，当且仅当A(u)=1;

(2)A包含于B内，当且仅当A(u)≤B(u);

(3)A等于B，当且仅当A(u)=B(u);

(4)0≤A(u)∨B(u)≤1;

(5)0≤A(u)∧B(u)≤1;

(6)0≤1≤A(u)≤1。

针对多属性决策问题中的多个属性，本文采用Zadeh模糊集表示方法，i=1，2，…，m。

对于属性集 Y=(u1，u2，…，um)，决策者可应用模糊集将自己对各属性的偏好定义为该属性的隶属函数，进而转化确定各属性的权重，进行方案集的信息集结。

1.3 WGA算子

定义3 设算子WGA:R+n→R+，若

式中，ω(ω1，ω2，…，ωn)为数据组(α1，α2，…，αn)的指数加权向量，且为正实数集，则称函数WGA为加权几何平均算子，也称WGA算子［1］。WGA算子体现了每个数据所在位置的重要性程度。

通过对多属性决策的WGA算法进行方案集的排序和择优，从而解决属性值为区间数的多属性决策问题。

2 决策分析

综上，基于模糊偏好信息和WGA算子的多属性决策算法步骤如下:

步骤1 将决策信息的原始数据构成的决策矩阵A=(aij)规范化，得到规范化矩阵R=(rij)。常见的属性类型有效益型和成本型，其中效益型属性是越大越好，成本型属性是越小越好。设I1，I2分别表示效益型和成本型属性的下标集，为消除不同物理量纲对决策结果的影响，可对原始属性值作如下规范化处理:

这样得到规范化矩阵R=(rij)。

步骤2 决策者对各属性按照自己的偏好给出该属性的隶属函数

步骤3 由于隶属函数A(ui)的和不一定为1，所以要将隶属函数A(ui)归一化，从而转化为属性的权重向量 ω(ω1，ω2，…，ωn)。

步骤4 应用WGA算法对各方案进行集结，求得其综合属性值;

步骤5 按zi(ω)的大小对方案进行排序和择优，确定最优方案。

3 实例及其分析

不失一般性，本文引用文献［1］中的例子数据。信息系统投资项目的评价指标(属性)主要有:

(1)收入u1(万元)。收入是投资项目的一个重要目的;

(2)风险u2。投资的风险是投资的重要因素，尤其是政府部门信息投资项目，受政府和市场的影响甚大;

(3)社会效益u3。作为信息项目投资的一个评价指标，信息化建设最终是为了提高社会服务水平，社会效益显著地投资项目不仅可以提高企业形象，而且更容易得到政府的认可和批准;

(4)市场效应u4。主要表现为两个方面:一是市场抢占速度，尤其在政府工程项目中最为明显，二是边际成本降低，在某些市场效应显著地投资项目中可以以微利甚至亏损的方式进行;

(5)技术难度u5。伴随计算机技术的发展，新的技术不断出现，为了提高系统的实用性和安全性，对技术的要求也相应提高。

在某地区信息系统项目中，共有4种方案可供选择，其中

x1:采用8KB的CPU卡;

x2:采用2KB的CPU卡;

x3:采用磁卡;

x4:采用系统集成。

对上述4种方案，组织专家论证，得到的评估矩阵见表1。在各项指标中，风险u2和技术难度u5为成本型，其他3个为效益型，试确定最佳方案。

表1 决策矩阵A

步骤1 将决策矩阵按照式(2)(3)规范化，得矩阵

步骤2 设该项目决策者为风险规避型，在对5个属性的偏好中:u2风险最为看重，u5技术难度次之，u1市场效应再次，u1收入和u3社会效益最次。对5个属性的偏好用隶属函数表示为

步骤3 由于隶属函数

所以要将A(ui)隶属函数归一化，从而转化为属性的权重向量

步骤4 根据式(4)计算各方案的综合属性值:

步骤5 按综合属性值 zi(ω)，i=1，2，3，4 的大小对各方案进行排序得

故可看出最优方案是x3，该决策者可选择第3个方案:采用磁卡。

在文献［1］中，作者采用OWGA算子仅客观的依赖于信息属性值来集结信息，最优方案为x1，即8KB的CPU卡。本文与之相比较，决策方法不仅根据客观信息属性值，并且结合决策者对属性的主观偏好，综合主客观因素，更加增强了决策的合理性。

4 结语

多属性决策问题是现代决策科学的重要组成部分，本文针对含有决策者模糊偏好信息的情形应用WGA算子进行了深入研究，首先应用模糊集中的隶属函数表示了决策者对属性的偏好信息，再根据隶属函数转化为属性的加权向量，最后应用加权几何平均算法进行方案集的排序与择优。通过实例验证了该方法实用可行，较好地解决了含有偏好信息的多属性决策问题。

［1］徐泽水.不确定多属性决策方法及应用［M］.北京:清华大学出版社，2004.

［2］BELIAKOV G.How to build aggregation operators from data［J］.International Journal of Intelligent Systems，2003，18:903-923.

［3］尤天慧，高美丽.一种考虑决策者风险偏好的区间数多属性决策方法［J］.运筹与管理，2012，21(1):70-74.

［4］高峰记.不完全信息下对方案有偏好的多指标决策［J］.系统工程理论用途实践，2000，22(4):94-97.

［5］徐泽水.几类多属性决策方法研究［D］.无锡:东南大学，2002.

［6］BRYSON N，MOBOLURIN A.An approach to using the analytic hierarchy process for solving multiple criteria decision making problem［J］.European Journal of Operational Research，1994，76:440-454.

［7］焦佳，周庆健.属性值为区间数的多属性决策OWA算法［J］. 大连民族学院学报，2013，15(3):276-279.

［8］蒋泽军.模糊数学教程［M］.北京:国防工业出版社，2004.