数学归纳法在中学数学不等式证明中的应用

王琳

【摘 要】本文给出运用数学归纳法解题时经常出现的错误及其运用数学归纳法解题时的注意事项。

【关键词】数学归纳法；表现形式；解题技巧；常见错误

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一，中学数学中的一些概念、公式、定理及很多命题，通过数学归纳法导出和证明更符合学生的认知特点，也符合人们从特殊到一般的认知规律。但是，数学归纳法应用于证明不等式，应该怎样去用，在运用过程中应注意哪些问题，这一直困扰着我们中学生。

事实上，数学归纳法只能证明与自然数有关的数学命题，且该命题中所讨论的对象必须属于Cantor集（通常意义上的集合），而Cantor集具备三条基本特征—确定性、互异性、无序性。在适用范围内，数学归纳法的实质就是将一个无穷验证或很难穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题：

①当时，命题成立。

②假设当时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

从而达到证明的目的。

数学归纳法的两个步骤看似呆板，但却有多种表现形式，我们对此做一个简要的阐述。

1、第一数学归纳法

表现形式：①验证n取第一个值n0时命题成立。

②由假设当n=k时命题成立，证明对于n=k+1时命题也成立。

则命题对任意的n≥n0命题成立。

2、第二数学归纳法

表现形式为：①验证n取第一个值n0时命题成立。

②由假设n≤k时结论成立，证明对于n=k+1时命题也成立。

则命题对任意的n≥n0命题成立。

3、第三数学归纳法

表现形式如下：设P（m、n）是与两个独立的自然数m和n有关的命题，若

①P（1、1）成立；

②对任意的自然数k、l，假设P（k、l）成立，可以推出P（k+1、l）和P（k、l+1）都成立；

则对任意自然数m、n，P（m、n）均成立。

给出了以上三种在数学证明中常用的数学归纳法的解题思路及步骤，现在我们来讨论一下运用数学归纳法在不等式证明中的解题技巧。

（1）适当放缩

要由“假设不等式”成立推到“目标不等式”成立，宜尽早使用“假设不等式”，再利用辅助条件，通过合理的放缩，逐步向“目标不等式”逼近。

例、（1990年全国竞赛题）设且，求证：对于任何，有成立。

证明：1、当n=1时，原不等式显然成立。

2、设n=k时，原不等式成立，即

则当n=k+1时，

= （关键）

由可得，

∴

∴

即n=k+1时，原不等式成立。

由1、2可知对任何原不等式成立。

注：此题的关键一步运用了适当放缩使问题较为简单的解决。由此可以看出， 放缩法在用数学归纳法证明不等式时的重要性。

（2）增设引理，铺桥架路

当“假设不等式”直接向“目标不等式”过渡有困难时，可以将问题归纳到某个中间联系环节（辅助命题或引理）来处理，而这个中间联系环节只起到桥梁的作用。

例、设a、b为正实数，n为正整数，试证明：

分析：1、当n=1时，不等式显然成立，当n=2时，易证不等式成立。

2、假设当n=k时，结论成立。

当n=k+1时，左边=

要使上式不大于，中间还有一段距离，经分析如能证明辅助命题，则问题可以迅速解决，而这个辅助命题用比较法容易证明，故可证。

（3）分类讨论，柳暗花明

当由“假设不等式”向“目标不等式”过渡时，将要证明的一个命题分成几个命题，然后用数学归纳法讨论。

例、（1986年高考题）已知，

且，

试证：数列{}或者对任意都满足或都对任意都满足。

分析：由于且，又由题意可知，对任意，有，故与同号，于是应分与两种情况讨论。

证明：1、若，用数学归纳法证明

（1）当n=1时，成立。

（2）假设当n=k时，成立，则当n=k+1时，，即当n=k+1时，有

∴对任意，有。

2、若，同样可证，对任意，，此时有

综合1、2，原命题得证。

（4）加强命题，以屈求伸

当“假设不等式”很难直接过渡到“目标不等式”，则可以通过加强命题的方法加强结论，达到调整结构，以屈求伸之功效。

例、设0

分析：由题设知，，若设，则很难由递推公式推出，因为这里出现在分母上，为了得到应知道小于某个数值，而这一点恰恰无法从归纳假设中得到，为了解决这个困难，我们来证明“对一切，有”，这显然是一个比“”还要强的命题。

证明：先证明对于任何恒成立。

1、当n=1时，∵0

2、设n=k时结论成立，即成立，则n=k+1时，

∴成立。

由1、2可知，对于任何恒成立，故恒成立。

参考文献：

[1]赵小云.数学归纳法原理.数学通讯.

[2]张黎明.数学归纳法的应用与技巧.青海师范大学民族师范学院学报.

[3]王启东，袁海峰.数学归纳法的常用求解策略.中学生理科应试.

[4]徐辉，唐淑红.例谈数学归纳法的集中表现形式.数理化解题研究.