绥化学院实变函数课程建设改革综述

莫海平

（绥化学院 黑龙江绥化 152061）

一、引言

实变函数是数学相关专业的一门重要专业基础课程，这门课程对于培养数学专业人才和不同层次的数学教师都会发生潜移默化的，不可估量的积极影响。实变函数课程理论体系的严谨性，思维方法的抽象性，问题论证的技巧性，内容应用的广泛性，使得学生对学习实变函数课程既有热情又信心不足，提升学生学习实变函数课程的效果总是存在巨大的空间。对于绥化学院一类新建地方本科院校的数学相关专业来说问题尤其突出。掌握实变函数的基本概念和基本方法是这一类高校实变函数课程教学的基本目标，要实现这个基本目标并达到令人比较满意的教学效果，是一个需要不断认真研究并在教学实践中努力探索的艰巨任务；如何达到学生掌握实变函数的基本概念和基本方法，进而掌握实变函数的基本技巧并把实变函数基本理论应用于理解其他相关课程中去，这是实变函数课程建设的基本问题。绥化学院开设实变函数课程三十多年围绕上述建设目标解决上述基本问题进行了不懈的努力，做了一些值得总结和肯定的工作。本文针对绥化学院实变函数课程建设的研究与实践的若干问题进行讨论，以期对绥化学院一类新建地方本科院校实变函数课程建设和教学改革起到借鉴作用。

二、绥化学院实变函数课程建设的历史沿革与定位

绥化学院实变函数课程建设有很悠久的历史。学校曾经培养1977级数学专业本科生，从那一届学生就开始开设实变函数课程了。

1978年，学校进入绥化师范专科学校建设时期，从1980级开始培养三年制数学教育专业专科生，实变函数列为必修课程。从1978级到1979级、1986级到1989级，学校培养二年制数学教育专业专科生，实变函数列为专业选修课程。从1990级到2007级的数学教育专业专科生以及2000级以来的数学与应用数学专业本科生，实变函数一直是专业必修课程。

为贯彻落实学校“建设应用型大学，培养应用型人才”的办学思想，数学与应用数学专业的人才培养方案加强了实践教学环节，几乎每门课程或削减理论教学时数而增加实践教学时数，或整体上削减教学时数。从2008级的数学与应用数学专业和信息与计算科学专业开始，实变函数课程的计划教学时数由原来的72学时减少到54学时。虽然实变函数课程教学时数有所减少，然而实变函数仍然定位在必修课程位置上，实变函数课程在数学相关专业人才培养方案中的重要地位没有改变，学校领导和专业领导以及任课教师对实变函数课程建设也一直保持很高的热情。实变函数课程于2008年评为校级精品课程，于2009年评为省级精品课程。

三、实变函数课程建设的主要工作

1.教师队伍建设

实变函数课程教师队伍建设的目标是建设一支稳定的、业务功底比较深厚的、教学基本功比较扎实的、科研能力比较强的，职称、学历、年龄等结构比较合理的教师队伍。

实变函数课程教师队伍建设的思路是通过积极进行科学研究和教学研究促进教师科研能力增长，促进教学水平提高；通过集体研究教学内容和教学方法及手段改革促进营造合作研究的氛围，提高合作研究意识。

2.教学内容改革

绥化学院实变函数课程教学内容改革的目标是通过教学实践和研究，把实变函数课程建设成为具有某些特色的课程，特色主要在于使实变函数课程教学内容改革模式比较适合于绥化学院一类新建地方本科院校的数学与应用数学专业实变函数课程的教学；根据教学实践中的问题，积极进行教学研究并把研究成果应用到教学实践中去，并在教学实践中检验和改进；经过几轮的教学实践，制定相对稳定的实变函数课程教学大纲，编写出版体现教学内容改革的教材和学生学习指导书。

在实变函数课程教学内容改革上，遵循体现针对性、把握主体性、突出实践性、强调应用性的原则，既要满足本科实变函数课程教学大纲的基本要求又要保证教学效果。我们在许多方面做了有思考又付诸实践的工作。以下列举几个问题可见实变函数教学内容改革的基本思路。

（1）实变函数课程研究的主要内容和解决的主要问题

搞清楚实变函数课程研究的主要内容和解决的主要问题是什么，这对于刚开始学习实变函数课程的学生来说是一个十分重要的环节，一般来说，这在第一次课的两个学时便可完成。学生要知道实变函数的核心研究内容是建立一种称为勒贝格（Lebesgue）积分的新型积分，这是一种与数学分析课程中的称为黎曼（Riemann）积分的定积分既有区别又有联系的积分。通过描述勒贝格积分建立的思路与黎曼积分定义的比较，让学生感受到勒贝格积分也是在解决与黎曼积分相类似的问题中引进的，并且与黎曼积分概念有很大的不同；同时学生知道建立勒贝格积分需要构建点集的测度理论，可测函数和可积函数的理论，还要使学生知道利用勒贝格积分理论处理数学分析课程中的相关问题更具优越性和深刻些。学生知道了这些就会在循序渐进的学习过程中有比较明确的目标，会增添学习兴趣，提高学习的积极性。

（2）注重理解基本概念，掌握基本方法，训练基本技巧

实变函数课程教学对于理解基本概念、掌握基本方法、训练基本技巧这样的问题随处可见，下面仅举一例，可见一斑。

证明任意区间（a,b）,(a,b],[a,b],[a,∞),[a,∞)(-∞,a)，(-∞,a]均具有连续基数 c(a＜b)。

对于其他区间，比如（a,∞），可用以下方法，（a,b） （a,∞） R，因为（a,b） 与 R 对等，由Bernstein 定理，（a,∞）与 R对等。

另外区间的处理可以举一反三，收到事半功倍的效果。

（3）内容顺序做必要的调整

在讨论单调可测集列极限集的可测性时，往往要重温集合列的极限运算及单调集列的极限集的结果，为提高教学效率，把这两部分内容放在一起讲授，实践证明，既省略了不必要的重复又收到了预期效果。

讲完测度论再讨论康托（Cantor）集，可以更全面地研究康托集的性质。如果在这之前讨论康托集，尽管能够论证康托集是完备集、康托集没有内点、康托集是疏朗集、康托集是具有连续基数的集，但此时不能知道康托集的测度为零，而康托集的测度为零是具有连续基数的点集其测度可能为零的一个典型例子。

（4）应用比较广泛的概念要严格讲解

波莱尔（Borel）集是一个很重要的概念，而且在概率论等课程中经常涉及，虽然严格定义波莱尔集需要一些预知概念，然而弄清楚波莱尔集的严格定义可以毕其功于一役，学生可以更深刻的理解波莱尔集的概念，并且可以严格论证波莱尔集都是勒贝格可测集。对于勒贝格可测集要比波莱尔集多得多的问题，通过讲解两个命题能让学生看得更清楚，一是直线上所有波莱尔集的集类的基数是连续基数；二是直线上所有勒贝格可测集的集类的基数是。

（5）注意强调勒贝格积分的优越处及与黎曼积分的不同点

勒贝格积分的优越处及与黎曼积分的不同点这样的问题也很多，比如勒贝格积分理论给出了有界函数在区间[a,b]黎曼可积的充分必要条件[1]，这是黎曼积分理论不能解决的问题。

勒贝格积分与黎曼积分的一个典型不同之处是勒贝格可积函数具有绝对可积性，勒贝格广义积分没有条件收敛的概念；而黎曼广义积分则不然[2]。

类似的这样问题要注意讲解几个例子，从理论到实践搞清楚这些问题。

教学方法改革和教学条件建设

实变函数课程教学方法改革的思路是解决实现培养规格及教学大纲要求与教学时数少的矛盾；解决如何让学生提高学习效率和效果的问题；解决掌握知识与提高能力协调发展的问题；达到提高师范生教师职业能力的目的。

实变函数课程教学方法的设计思想是从已知概念出发诱导新的概念和理论，从已知的问题和现象提出和归纳一般性的结论。使学生懂得抽象概念和理论并非无源之水，无本之木，通过课堂教学，让学生在潜移默化中学会如何发现问题、分析问题和解决问题。

实变函数课程教学积极发挥学生主体作用，通过教学过程中布置阅读材料和思考题，要求学生撰写课程学习报告，在习题课上报告交流学习成果，以达到培养学生创新精神和团队精神，提高学生实践能力和教师职业能力。

教学条件建设的目标是编写一部适合绥化学院一类新建地方本科院校数学与应用数学专业使用的教材，并有配套的学习辅导及习题资料；制作相应的多媒体教学课件；为学生自学提供充分的、有效的文献资料或资料清单；建设一个资源性的实变函数课程教学网站，建立师生互动平台。

绥化学院实变函数课程建设三十多年了，作为省级精品课程建设也已经三年多了。经过学校历届领导的重视和支持，课程教学团队努力工作，取得了一些值得肯定和借鉴的成果和经验。体现教学内容和方法改革的自编教材《实变函数》于2011年由黑龙江大学出版社出版。在资源性网站建设方面，课程教学大纲、参考书目清单、近几年的考试试题、评分标准与参考答案、考试情况分析、教学进程安排等都已上网实现资源共享；我们已录制了三分之一的授课录像，已经上网实现资源共享。

实变函数省级精品课程建设，已完成一项学校教育教学改革重点项目，获得一项学校教学成果一等奖。

[1]刘绍武，莫海平.实变函数[M].哈尔滨：黑龙江大学出版社，2011.

[2]程其襄,等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.