稠油冷采井砂产量分析方法

刘向东 （中国海洋石油有限公司乌干达公司，北京100010）

赵刚 （里贾纳大学石油系统工程系，加拿大）

刘平礼 （油气藏地质及开发工程国家重点实验室 （西南石油大学），四川 成都610500）

黄颖辉 （中国海洋石油有限公司乌干达公司，北京100010）

稠油冷采过程中疏松砂岩地层中砂被稠油大量携带而出。一般情况下，稠油产量会随砂产量增加而增大达10倍之多，稠油冷采井初期产砂率达到20%～50%，之后迅速递减到5%以下。油田现场观察以及室内试验证明了稠油冷采井周边蚓孔增长[1～7]。室内试验模拟了蚓孔在疏松砂岩地层中增长现象，且易于在砂岩地层中不稳定的界面和胶结较疏松部分增长[8]，类似于黏性指进现象发生在两种不同黏度流体不稳定界面上。稠油冷采井砂产量与蚓孔增长有密切联系，需要建立数学模型分析砂产量进而掌握蚓孔增长情况。

1 数学模型

1.1 蚓孔直径分布

加拿大阿尔伯塔研究中心采用X射线层析成像对疏松砂岩长岩心进行室内试验分析发现[9]，蚓孔增长起始于孔口，其直径沿岩心长轴方向先快速增加，然后逐渐减少。根据冲蚀机理，蚓孔在径向和横向上的增长需要有足够的压力梯度。试验表明压力梯度剖面特征与蚓孔直径特征相符[10]。根据相似原理，采用高斯面函数回归蚓孔室内试验数据，结果见图1，得到蚓孔直径分布：

图1 蚓孔直径分布拟合结果

式中：dw为蚓孔直径，m；df为射孔直径，m；x为距射孔口距离，m；t为生产时间，d；r（t）为t时间蚓孔径向长度，m。

1.2 蚓孔形态和长度

扩散限制凝聚分形模型主要用于描述不可逆转增长形成的分形结构，其维度分布大概为1.65～1.75。该模型成功应用于描述分形分支结构[11]，例如电介击穿、三角洲水道发育、黏性指进、多孔介质溶质扩散、电极沉降等。物理上扩散限制凝聚分形结构产生于拉普拉斯等式主导的经典物理标量场，即标量场Φ满足拉普拉斯等式▽2Φ＝0，内边界条件Φ＝0，外边界条件Φ＝0。通过比较在位置（i，j）处拉普拉斯标量场Φ（i，j）和自由漫步者访问概率P（i，j）两个等式：

可以看出随机漫步者访问位置（i，j）的概率P（i，j）与Φ（i，j）一致。因此可以在模拟器中用大量随机漫步者产生扩散凝聚模型。虽然不同随机种子序列将产生不同分形结构，但其维度均为1.65～1.75，扩散限制凝聚模拟过程示意如图2所示，每一个网格有两种情况，即在网格中有或者没有自由漫步者。

蚓孔增长于疏松砂岩地层，而其所在压力场符合拉普拉斯等式。因此推断扩散限制凝聚模型适用于描述稠油冷采井周边呈分支状增长的蚓孔形态。扩散限制凝聚结构一般有4个主要分支，如图3所示。

图2 扩散限制凝聚模型模拟过程示意

图3 扩散限制凝聚二维结构

稠油冷采过程中随着砂的不断采出，无数蚓孔从射孔孔口开始增长。一些蚓孔增长到离井筒较远的地方，而一些蚓孔受到邻近蚓孔影响导致长度较短[10]。假设每一个射孔孔口对应于一条主要分支，即每4个射孔孔口会分享一个扩散限制凝聚分形结构。沿着井筒方向射孔段二维平面扩散限制凝聚平面结构的叠加形成蚓孔三维空间结构，如图4所示。

室内试验研究认为蚓孔增长分为2个阶段[12]，第1阶段为蚓孔增长期，蚓孔在该阶段快速增长。第2阶段为冲刷机理控制期，蚓孔在径向和横向上的增长没有足够压力梯度，蚓孔增长非常缓慢，蚓孔孔隙度会增大。设定T为蚓孔增长期结束时间，可以通过下式计算：

图4 稠油冷采井蚓孔三维形态

根据物质平衡原理，不同时间蚓孔径向长度r（t）通过下式计算：

式中：Vs（t）为t时间对应的累计砂产量，m3；n为扩散限制凝聚平面结构个数；rw为井筒半径，m。

2 应用实例

选取2口典型稠油冷采井砂产量数据进行分析。这2口井从投产开始均采用稠油冷采方法。表1列出了井1和井2射孔参数，图5、6分别是其生产曲线。

如图5所示，井1生产曲线具有典型的稠油冷采井特征。最初的22个月生产时间内，产砂率由最初12.7%降至0.3%，与此同时产油量从1.5m3/d增加到9m3/d。图6显示井2在最初40个月生产时间内，产砂率从10%降到0.09%，产油量从4.1m3/d增加到9.5m3/d，产量快速增加主要是因为蚓孔快速增长，提供了地下原油流动的主要通道。

表1 射孔参数

图5 井1生产曲线

图6 井2生产曲线

基于上述模型，通过砂产量数据分析蚓孔增长形态和长度。由于有无数条长短不同的蚓孔，因此以最大蚓孔长度为表征参数。表2列出了井1和井2砂产量分析结果，与现场示踪剂试验结果基本一致。

表2 计算结果汇总

井1蚓孔在37个月后停止增长，增长期累计砂产量达到224m3，蚓孔最大长度达到218m。在蚓孔增长期，不同时间最大蚓孔长度可以通过式 （5）计算。在最初的5个月内，蚓孔平均增长速度约0.4m/d。此后，由于砂产量较低，蚓孔平均增长速度约为0.15m/d。井2蚓孔在54个月期间持续增长。在最初的5个月内，蚓孔平均增长速度约0.19m/d。相比较而言，井2蚓孔增长期较长，但蚓孔增长速度较慢。主要源于不同地质油藏条件、生产作业情况和射孔参数等。

3 结论

1）模型分析了稠油冷采井砂产量，进而得到蚓孔增长形态、长度、速度和直径分布等特征参数。

2）分析结果可以用于优化稠油冷采井距，并为产量动态分析、压力分析或油藏数值模拟奠定基础。

3）通过对油田内多口井砂产量的分析和对比，有利于优选生产作业条件和射孔参数等。

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