数学教学也应润物无声

杨宇

最近我一直在思考一节课的来龙去脉，这节课的内容是小学数学人教版五年级上《用字母表示数》。之所以关注它有两个原因：其一，从内容上看“用字母表示数”是一个看似简单却又很复杂的问题，远非我们想象的那样易于学生理解。纵观历史，人类从用符号表示“特定的数”，发展到有意识地、系统地用字母表示数，经历了1200多年的不懈努力。如果说这段历史体现了人类探索数学发展的历程，那么学生对字母表示数的理解或多或少也要经历类似的跌跌撞撞的过程，才能在比较抽象的水平上形成对符号表示数的认识。其二，从课标的修订中看，2011版课标将原实验稿中核心概念之一的“符号感”调整为“符号意识”。为什么要做这样的修改？二者之间有着怎样的联系和区别？如何来发展学生的“符号意识”，等等，这些问题一直是我深入研究的兴趣所在。

正好，在上学期末，为了参与编写一本教师培训教材，我执笔其中的案例，要求对一节课中学生的学习情况做课堂观察，并作心理分析。于是邀请一位教师上课，内容是“用字母表示数”，同时选三名学生做观察对象。

A学生：

思维敏捷，分析问题思路清晰。能积极参与课堂活动，上课注意力集中，认真听讲，能跟上老师的思路，积极发言，表现欲强。平时能按照老师的要求认真完成作业，书写工整，作业不依赖家长，自己独立完成作业，有良好的检查习惯，能及时改正作业中的错误。

B学生：

性格内向，不爱说话，不爱与人交流。学习一般，不太吃力，但不突出。能够按时完成作业，偶尔存在丢题、马虎的现象。书写不够认真，但是只要认真写，还是可以把作业写得很工整，有时候耍点小聪明，学习需要老师督促。

C学生：

不爱说话，不爱参与学习活动，学习被动，没有个人见解。作业书写不认真，不及时，两头欺瞒，跟老师说没带作业，跟家长说没留作业，或已经写完，家长也不及时检查，作业中经常出现不应该的错误，甚至丢题。学习较吃力，没有良好的思维能力和学习习惯。

下面是教师教学设计的大致纪实：

一、设疑导入

1.引入学生熟知事物，感受字母表示的特殊含义。

教师出示1.69m并提问：数据表示什么意思？字母m代表什么？

2.出示“哈弗利采克”计算公式，猜测公式中字母代表什么，进一步激发兴趣，引出课题。

二、讲授新课

（一）理解字母表示特定的数。

出示一组练习题。（按规律填数）

（二）理解字母表示变化的数，会用字母表示两个量之间的关系。

1.发现规律

教师：同学们表现很好，为了鼓励大家，老师给大家带来一个“神奇的魔术盒”。它的神奇在于左边进去一个数，经过魔术盒加工会出来另一个数，想试试吗？（学生通过输入和输出的数，发现规律）

2.学生探究

教师：输入的数可以是任何一个数，永远也输入不完。有没有一个好办法能把所有输入的数和输出的数都表示出来呢？可以独立思考，也可以几个人商量完成。（探究）

探究提示：

输入的数在不断变化，输出的数也在不断变化，什么永远没变？

能不能用一种简明、概括的方法把所有输入的数和输出的数表示出来？

3.猜年龄

教师：请同学们猜猜老师今年多大了？我比这位同学大20岁，我多大？当这位同学20岁时，我多大？能用含有字母的式子表示出来吗？这里的字母可以是任意数吗？

三、巩固练习

1.先读儿歌《数青蛙》，再扩展编儿歌

教师：我们一边拍手，一边读。永远也读不完，怎么办？谁能用一句话的内容概括儿歌？

2.挑战训练

常识题：动物气象员：某地蟋蟀1分钟叫的次数除以7加上3就近似得到当时的气温。用带有字母的式子表示该地当时的气温；如果蟋蟀1分钟叫了140次，该地当时的温度大约是多少？

3.教师明确课前估算自己身高的公式，明确每个字母都代表什么

从教师设计的教学环节中我们不难发现，本节课，教师创设大量情境，恰当地运用了学生身边的生活素材，让学生在探索中学习，增强探索的欲望和学习兴趣。从具体的数到用字母表示数是认识上的一次飞跃，对学生来说是很抽象的，也是相当困难的。因此，教师采用合作探究的方式，通过活动去实现对它们的理解和掌握。这是符合学生自身认知规律的。所以，从课的设计来看是一节好课。但是学生学习得怎么样呢？是否解决了学生对数学抽象概括的过程与代数语言的认识？课后我与上课教师对观察的三名学生学生进行了访谈调查，发现对含有字母的式子既表示结果，又表示关系的理解很困难。下面是访谈记录：

A学生：很喜欢这节课，内容很新鲜，学会了新的思维方式； “猜年龄”这个环节对自己最有吸引力，因为贴近生活实际，知道字母的取值是有一定限制的；用含有字母的式子表示数量及数量关系关键就是找到变化的量用字母表示，再找不变的量，就能列出式子。

B学生：喜欢这节课，因为这节课内容很丰富；对“数学魔盒”比较感兴趣，很新奇、很好玩，就想去试一试，探索其中的奥秘，最后感觉到了魔术变不完用字母就可以概括了；用含有字母的式子表示数量及数量关系听懂了，但说不清楚，应用还存在一定困难。

C学生：喜欢这节课，觉得很好玩；对“巩固练习”中的“数青蛙”、“动物气象员”感兴趣，有趣，还增长了知识；用字母表示特定的数学会了，用含有字母式子表示数量关系没太明白。

B学生和C学生可以代表全班学生的70%，他们对用字母表示特定的数理解没问题，但对用含有字母的式子表示结果或数量关系不理解。教师这样精心设计的课，为什么学生掌握得没有预想的好呢？课后我们及时通过学习、讨论发现“用字母表示数”，对小学生来说，是非常抽象的。特别是用含有字母的式子表示数量关系。在学生的思维过程中，由具体的数和用运算符号组成的式子，过渡到用字母和含有字母的式子表示数，是从个别上升到一般的抽象化过程。例如，已知教师年龄比学生大20岁，用a表示学生的岁数，那么a+20既表示老师岁数总是比学生岁数大20的年龄关系，又表示老师的岁数。这是学生初学时的一个难点。首先，他们要理解师生年龄之间的关系，还要把用语言叙述的关系改用含有字母的式子表示；其次，他们往往不习惯将a+20视为一个量，常有学生认为这是一个式子，不是结果。而用一个式子表示一个量恰恰是学习列方程不可或缺的一个基础。

由此可见，要想突出本节课两个学习重点，即使学生理解并掌握用字母表示特定的数和变化的数，在课的设计上还应考虑到让学生了解字母表示数的演变过程，可以用数学发展的历史来帮助学生理解字母表示数存在的意义和价值。我们应该怎样做呢？

美国著名教育学家G·波里亚曾说过：“学习数学只有当看到数学的产生、按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时，才能最好的理解数学。”

先让我们来了解一段数学史：

早在3800年前，古埃及人用“堆”表示特定的数。

公元4世纪前后，古希腊学者丢番图开始用希腊字母表示数和一些运算。

16世纪的法国数学家韦达开始有意识地、系统地用字母表示数。

从历史上看，人类最初表达代数问题，一切算法皆用普通文字。古希腊丢番图首先用“数”的希腊发音中的第一个字母来表示数。这之后，许多数学家纷纷效仿。但用音节的缩写来表示未知量以及其他代数符号，每一种缩写，其本身都具有先入为主的意义，因而其价值只不过有所简略而已。后来，法国数学家韦达设想寻找一种求解各种类型方程的通用方法，他不仅用字母表示未知量，而且也用字母表示已知量及其运算，超越了各类数量的具体特点，从一般意义上看用字母来表示特定的量和变化的量，被公认是代数学发展历史上的一座里程碑。

那么怎样在一节课40分钟的时间里让学生体会1200多年的发展历程，并从中悟出用字母表示数的意义与价值呢？我与同年级的数学老师一起经过数次研磨，重新设计三个环节，叙述如下：

①引导学生思考5、10、15、20、25、ⅹ、35……这里的ⅹ表示什么样的数。

②让学生用小棒摆三角形，求一共用了多少根小棒。让学生一直摆下去，当学生发现无法表示完时，要求学生用一个式子代表所有情况，总结出n×3或ⅹ×3或m×3等形式。得出“用字母表示数不是简单地用字母代替数，而是把一直变化的量用字母表示出来，它可以代表无数个数”。第一种情况字母表示的是特定的量，而第二种情况则表示变化的量，是不定的。

③给式子（ ）×5改编一句话。教师做示范：

师：（ ）表示一本书的重量，那么（ ）×5表示5本书的重量。

（这时学生争抢来说，教师准确抓住这一衔接点）

每个重量×5

每个价钱×5

每班人数×5

……

师：用文字表达的确很繁琐，因而古希腊数学家丢番图想到用“缩写”的方法来表示，仿照丢番图的方法，这里的“每个重量×5”取“重”的发音的第一个字母，表示成“z×5”。那么“每个价钱×5，每班人数×5”怎样用所写的方法表示呢？

生：取价的发音第一个字母用j×5，取人的发音第一个字母r×5来表示。

师：丢番图用字母缩写来表示数量间的关系，虽然简洁了，但每个字母都表示特定的意思，不能把j×5，r×5等同。所以并没有给数学带来更多便利。到16世纪，法国数学家韦达想，如果把各种情况中的字母表示的特定意思都去掉的话，不都是一个数和5相乘吗！于是将不同的字母换成□×5。后来就表示成了a×5，这里的a不是特定的意思了，它只是一个符号而已。自从韦达把字母当成符号来表示后，许多数学难题得到了解决，数学获得了飞速的发展。

反思这个设计，目的完全从学生自身出发，从学生所处年龄特点出发，从学生的认知规律出发，让学生的思维自然地、无痕地跟随数学家们的不断追求逐步得到提升。

“一个普通的教师奉送真理，一个优秀的教师教人发现真理。”为此，我们的数学教育应当努力还原，再现这一发展过程，从数学家的废纸篓里寻找知识的源泉。

我们知道，符号意识是《数学课程标准》提出的第二个核心概念。本节课是培养学生的符号意识最好的载体。这里所说的符号意识主要包括两方面的内容，一个是关于概念的符号，一个是关于关系的符号。自然数就是一种符号，人们用自然数这样的符号表达数量的多少。但“符号意识”中所说的概念符号更为抽象，在小学“数与代数”中主要是指：用字母表示数。因为数是对数量的抽象，因此，这种表示也蕴含着用字母表示一般的数量，所以这节课中如何帮助学生由具体到抽象是需要解决的最大问题。教学的最好方式是重要的，但数学的本质到底什么是更重要的。很显然，用字母表示数的过程，不是字母替代文字的过程，而是具体数量符号化的过程。从具体的数到抽象的字母，表达形式变化的背后，意味着思维方式上要有变化。学生在此之前接触的是算术，关注的是计算结果，而现在接触的是代数，关注的是数量关系。让一个含有字母的式子既可以表示关系，又可以表示结果，这的确是思维上的飞跃。所以，我们从数学发展的历史中，概括出用字母表示数的演变过程，目的就是使学生感受到数学发展一步步的变化，理解字母表示变化的数的由来，为后续方程的学习奠定基础。

由此可见，利用相关的数学史进行教学，学生会在“润物无声”的情景中获得认识上的巨大提升。我们在追寻前人研究轨迹的过程中，不单只看到经过严格论证的结果，也要看到数学家们思维活动的过程，感受到了数学家们敏锐的洞察力和机智，对培养学生数学思维具有启发意义。因为学生获得知识的探索性思维与数学家从事研究活动的探索性思维本质上是相通的。而且科学家们孜孜以求，克服重重困难，深入探索的精神有助于培养学生锲而不舍的钻研精神，培养他们坚强的意志。

（作者单位：长春市第一实验中海小学）

责编/张晓东