浅谈驻波实验基础理论及其“二分频“现象

常 理

(华南理工大学广州学院 物理实验中心，广东 广州 510800)

驻波实验是大学物理实验的一个重要组成部分，可以让学生对驻波形成条件、横波产生与传播等形象直观地理解，是力学演示实验的重要内容之一。驻波实验研究种类多，如验证频率与波长的关系、验证波长与张力的关系、平面驻波和立体驻波判别、“二分频“现象等等。各类研究都离不开驻波实验的基础理论，只有有效掌握基础理论，方可对实验进行清晰合理的解释和有效的改进。如在频率测量中，弦线与音叉臂平行共振或者是垂直共振是最常见的两种实验方案，实验中用平行共振方法可以得到的驻波的频率与音叉的振动频率相同，而用垂直共振法得到的驻波的频率仅有音叉的振动频率的50%，这种“二分频”现象如何让学生利用基础理论知识与物理规律去理解，是实验教学需要重点探讨的问题。

1 驻波实验原理理论

1.1 驻波形成理论

驻波的形成是张紧的弦线在电振音叉的带动下发生振动，促使得入射波形成，再在弦线的支撑点滑轮时发生反射，从而促使反射波也形成，在迭加的情况下，当达到某一条件就可以发生共振，形成驻波，其方程为：

在x=0处，y=0，由1-1式可得，当到达反射条件时，可知在弦线的另一端必定出现另一个节点，即有：

由1-1和1-2式可知，在驻波地弦线上形成时，弦线长度l必定是半波长n倍(n为整数)，所以，驻波实验可以用于测试波长。

1.2 横波传播理论

横波传播理论主要讨论传播速度与波长。设x轴为正方向传播，若横波地张紧的弦线上向正方向传播，取某一小段作AB=ds为研究对象。设弦线的线密度用ρ表示，弦线质量用ρds表示，AB的张力分别为TA、TB，与沿弦线切线方向一致，与正方向x轴的交角分别是∂A、∂B角。一般情况下，横波在沿线上传播时，x方向并无明显的振动，因此，在AB段上的张力分量为0，可以得：

由力学知识可得在y方向AB的运动方程为：

在AB段发生的小振动，∂A、∂B比较小，可以认为 ds≈dx，cos∂A=cos∂B=1，sin∂A=tg∂A，sin∂B=tg∂B，可导数的几何意义可以得到：

由1-4与1-5式可知，TA=TB，这就说明了弦线的张力比较稳定，不随时间和地点变化而变化，设弦线张力为T，有：

由泰勒级数展开式推导可得：

由1-8式可知，波长λ在横波传播速度v、线密度ρ及张力T都知道的情况下，可以直接求解得出，波长随着张力变化而变化，并可利用1-2式进行验证。

2 两种共振实验现象及其理论分析

下图为弦线与音叉臂平行共振及垂直共振实验图。当弦线处在a位置时，而且保持张力为一定的值，就可以通过调整弦长来观察驻波的波形。根据下图下示，通过变换方位对来实验现象进行分析。

2.1 弦线与音叉臂平行共振

在0-a方向上，通过调节得出弦长是半波长的偶数倍且驻波稳定时，保持张力和弦长不改变，通过逐渐增大θ，波形稳定之后，此时观察到水平方向与竖直方向的波长比是1：2，同期也是1：2，当张力和弦长发生改变时，弦上就会生产一些复杂的波形。

通过以上的实验现象，我们可以得出，当弦线在音叉的摆动下，容易产生摆动与拉伸的效果，并且产生对应的二驻波，在迭加的情况下，产生了复杂的驻波。在满足实验要求时，二驻波波长为1：2，与水平方向与竖直方向波长比相吻合。由实验图可知，音叉在水平方向上摆动，这样驻波的形成必定是水平平面;而横波的形成主要是由于重力作用，因此驻波的形成必定为垂直平面，水平和竖直两个不同方向观察的波形是1：2。在偏离实验条件情况下，弦线的摆或者是拉伸没同时满足形成驻波条件，此时就会出现迭加复杂的平面波。

2.2 弦线与音叉臂垂直共振

由于音叉摆动是产生横波的源头，因此，要获得稳定的驻波，调整弦长也是一个很好的方法，但这方法与普通的方法存在着较大的区别，可以在同一平面上的两个幅度差异比较大的垂直振动进行拉伸，从而影响主驻波。当弦线换成0-a，0-d时，也可以产生驻波，但最主要是以叉水平运动为主，更改后变化不大。因此，可以得出音叉摆动同时作用于水平弦线的与垂直平面弦线，但通是以水平分量为主，垂直分量成为了影响主驻波的重要因素，等垂直分量明显时，弦上的波形就越复杂。

3 驻波实验“二分频”现象

在上述实验中，当弦线与张力满足一定条件时，就会看到弦线产生比较稳定而清晰的共振驻波，设固定端为波节。在实验中，如果弦线与音叉臂发生平行共振且形成驻波的半波数为偶数，那么，在不改变其他条件时，让弦线与音叉臂垂直，可以看到状态依然是共振状态，而且线上半波数变成了原来的一半，共振频率仅是原来的一半，这就是“二分频”现象。

针对“二分频”现象，解释有两种方法，一是根据基本的物理规律透过现象看物理本质，作出一定的解决;二是通过数值演示，让学生在过程中受到启发。由振动与波动理论可知，形成共振驻波有两个条件，一是音叉的作用力对弦线做正功，二是弦线长度应当是波长的整数倍。现通过数值模似方法来对“二分频”现象进行解释。由受迫振动条件可知，在音叉给弦线的驱动力对系统不断做功，使得系统能量不断得以补充，从而产生共振驻波。此时的系统参数会发生系列变化，在重力和张力的作用下，法码的单摆摆长也呈现出与时间的致的规律，关系如下式。

化简得：

式中的参数β会随着时间的改变而发生变化，由推导得出：

从以上式中看出，3-2式显然是一个非线性的微分方程，解决过程非常复杂，对于独立学院非数学专业的学生来说不作要求，但有条件的院校学生还可以通过Matlab软件对以上方程进行数值求解。

[1]张建从，康良溪.驻波实验的研究与设计[J]教学仪器与实验.2004年第12期

[2]韩敬，钟方川，李林.Matlab在大学物理实验数据处理中的应用[J]大学物理实验.2008年第1期

[3]吴澧旸，谢伟成.驻波实验演示装置[J]教学仪器与实验.2011年第5期