使用数学软件改造线性代数课程的教学改革探讨

万冰蓉，李小玲

（南昌工程学院 理学系，江西 南昌 330099）

为推进现代信息技术在课程教学中的应用，探索课程教学模式、内容和方法改革，提高学生可持续发展能力，2008年9月，教育部组织实施了“使用信息技术工具改造课程项目”，并于2009年1月批准“用MATLAB及建模实践改造工科线性代数”这一项目立项，交由西安电子科技大学牵头负责.该项目提出的对线性代数课程的基本教学理念和目标是应用线性代数培养大学生科学计算的能力，以推动在其它课程中应用线性代数分析和解决问题，进而增强学生的应用能力.由于在工科专业开设线性代数课程主要是为后续专业课程服务的，所以我认为这一教学理念和目标应该被线性代数教师认同.但是，在具体实施过程中，各院校，尤其是办学层次不高的院校会遇到一系列问题，以致于实施后的效果可能还不如传统教学下的教学效果，这一教学改革无法得到广泛实施.因此，我们针对工科专业“使用数学软件改造线性代数课程，培养学生应用能力”的必要性和可行性进行探讨，分析教学改革将遇到的问题及解决办法.

1 使用数学软件来改造线性代数教学的必要性

1.1 线性代数应用的广泛性及计算的复杂性需要使用数学软件来改造教学

线性代数学科是数值计算理论的基础，常用于解决离散化问题，广泛应用于理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天等领域.因此各高等院校都将线性代数课程设置为理工类、经管类各专业的基础课，以便后续专业课的学习.[5]中列出了理论力学、材料力学、电路、信号与系统、数字信号处理、自动控制原理等十多门课程中能用到线性代数的具体内容，例如，理论力学中的静力学平衡方程([2]例7.1.2)、材料力学中的超静定系统方程([2]例7.2.1)、电路中的直流稳态电路([1]例6.6.3)和交流稳态电路([2]例8.1.1)等都要用到高阶线性代数方程组求解，自动控制原理中的最优控制([3]8.5节)等需要用到矩阵的对角化和特征值.

可以看出，由于我们需要研究的问题越来越复杂，往往涉及成百上千的变量，当考虑把变量之间的关系简化为线性来求解时，遇到的都是高阶线性问题，不能依靠手算，所以线性代数中的科学计算问题就显得非常重要.一旦利用数学软件来改造线性代数教学，必定能让学生了解更多的应用性实例，拓展学生的思维.

1.2 体现线性代数的实用性以激发学生的学习兴趣，需要利用数学软件来改造教学

2010年6月，课题组对南昌工程学院2008级水利水电工程专业学生发放了146份问卷调查表.（该专业学生于2010年1月已经结束了线性代数课程的学习，当时采用的是以理论为主的传统教学方式，学时数为40，教材为同济五版线性代数.）其中，关于改革的必要性调查设置了3个问题，调查结果如表1：

问题1和问题2选择了选项C的学生的百分比从15.1%增加到22.6%，这种增加幅度对于省属的二本院校是合理的.因此可以看出绝大多数学生在填写调查问卷时态度是认真的，我们获取的数据是真实有效的.调查数据显示：高中时期对数学的兴趣，喜欢的占41.8%，一般的占43.2%.但进入大学后，在传统教学方式下能主动学习线性代数的只有22.6%，54.8%的学生学习态度一般，如果教学时突出线性代数的应用将有60.3%的学生的学习态度会发生积极性转变.这反映出工科专业的学生主动学习线性代数的动力不再是通过考试，而是实用.因此，线性代数的教学目的不应该只是让学生掌握好线性代数的理论体系，这种为学习而学习会大大降低学生学习的兴趣和主动性，而应该通过体现知识的实用性来激发学生的学习兴趣.

表1

2 使用数学软件来改造线性代数教学的可行性

2.1 已经具备利用MATLAB改造线性代数教学所需的硬件设施

近几年来，各高校的教学条件都发生了巨大变化，基本都配有一定数量的多媒体教学设备，有的高校多媒体教室的数量甚至达到80%以上.所有的高校都有充足的机房并安排了固定的对外开放时间，学生自配电脑的数量也逐年在增加.这些硬件设施足以保障教师在课堂教学上能利用数学软件来演示线性代数中的各种计算，也能保障学生课后的上机练习.

2.2 利用MATLAB改造线性代数教学的教学资源丰富

国外有些国家（如美国）对线性代数的该项教学改革已经普遍实施，我们可以借鉴其经验和资源，吸取其教训.教育部项目“用MATLAB及建模实践改造工科线性代数”的研究成果中有大量的可用资源，如教材、课件，尤其是其中有很多可用的线性代数的应用实例，这些资源可从www.matlabedu.cn上下载.此外，国内涉及线性代数中引入MATLAB计算及线性代数应用的教材也越来越多.我们可以根据本校的实际情况选择使用，或对其进行修改使用.

2.3 可以通过各种方式帮助教师掌握MATLAB软件的应用和线性代数在各专业中的应用实例

要顺利实施“利用MATLAB改造线性代数教学”的教学改革，教师应该熟练且全面掌握MATLAB软件在线性代数中的应用和线性代数在各专业中的应用实例，这需要教师投入更多的时间来学习.因此首先要做好教师进行教学改革的动员工作，要让他们了解国内外线性代数教学的发展趋势，深刻认识到线性代数教学改革的必要性和重要性，这样才能使教师能积极主动的进行学习.此外要通过各种方式帮助教师学习，如教学团队自身开设讨论班或外请有经验的教师开设系列讲座，也可以几个学校联合起来组织培训班等，甚至可以邀请相关专业课教师一起学习，以助于线性代数与后续专业课程的无缝对接.

3 教学改革的主要内容

我们应该如何使用数学软件改造线性代数课程，才能达到培养工科专业学生应用能力的目的呢？线性代数课程的教学现状能给予启示.

3.1 教学现状

我们调查了江西省8所本科院校中工科专业的线性代数课程教学大纲.教学大纲显示，这些院校的线性代数教学内容基本都为行列式、矩阵的运算及初等变换、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量和二次型；理论教学学时数主要有36、40和48三种，实验教学学时数都为0.使用教材大部分为同济大学编写的《工程数学——线性代数》，该教材重在介绍线性代数的理论知识，基本不介绍典型问题的应用实例.因此很多教师在理论教学时都基本不补充介绍线性代数的应用实例，由于没有安排线性代数实验课时，更不会介绍如何使用数学软件来帮助计算，这必然导致学生所学的理论知识不会用于解决专业课程中的问题，即便会用，也可能因为问题的复杂性使得算不出来.因此，目前很多院校的工科专业开设的线性代数课程都不能有效地为后续专业课程服务，线性代数的作用只能在硕士研究生入学考试中得到体现.

3.2 教学改革重在改革教学内容和教学手段，实现课堂教学和实验教学的有机结合

为使线性代数能更好地为专业服务，改革后的教学内容应该做到：（1）保持理论体系基本完整；（2）介绍与重要概念或重要理论相关的应用实例，尤其是有专业背景的实例；（3）介绍数学软件中和线性代数相关的一些常用命令；（4）演示应用数学软件求解应用实例的过程.教师在课堂教学中应采用多媒体来演示应用数学软件求解线性代数典型问题，尤其是应用实例的过程.将实验教学自然融入到课堂教学，实现课堂教学和实验教学的有机结合.

4 实施教学改革将遇到的关键问题及解决办法

在上述调查的江西省8所本科院校中，我们发现75%的院校工科专业线性代数课程的学时数不超过40，大部分为36.西安电子科技大学的线性代数理论教学学时数为46，在引入MATALAB教学后增加了4学时，在50学时的情况下他们的目标是实现实践与理论的有机结合.与之相比，江西省本科院校的线性代数教学学时数普遍都偏少.在传统教学方式下，学时数为48的院校可以详细讲解线性代数的基本概念、基本理论和基本方法，能让学生掌握完整的知识体系，并且能够安排一定量的习题课，而36学时的院校只能侧重讲解其中各种典型问题的基本解法.因此对大多数本科院校来说，解决线性代数教学学时与教学内容之间的矛盾是成功实施教学改革的关键问题.我们可以从以下几个方面来缓解这个矛盾.

4.1 获取学校政策上的支持，增加一定数量的课时

首先要使学校管理层充分认识到使用信息技术工具来改造线性代数教学的必要性及改造后可能会产生的积极影响——提高学生的科学计算能力及解决实际问题的能力.事实上，有些本科院校已经对高等数学课程进行了类似的教学改革，这也意味着学校管理层意识到数学实验对提高学生科学计算能力的重要性，那为什么其中的一些院校不把这种教学改革延伸到线性代数上呢？这里主要存在的问题就是需要增加实验课时.由于有些高校线性代数课程的原有课时已经偏少，要增加实验课时意味着要减少某些其它课程的课时，这需要修改相关专业的教学计划，相对比较复杂.开设线性代数实验需要多少课时呢？根据调查以及我们的分析，对已经开设高等数学实验课的高校，学生已经具有使用数学软件的基础，至少需6课时才能满足基本需要；对未开设高等数学实验课的高校至少需要8课时左右.为使问题简单化，我们考虑有两种可行的解决办法.可将高等数学和线性代数两门课程合并为一门课程，开三个学期，统筹安排课时；或者直接从高等数学课程的两个学期中划拨一定课时给线性代数.这种变化只涉及一个教学单位，相对容易处理，而且一般高校高等数学课程课时都比较充足，减少少数几个课时影响不大.

4.2 弱化理论、侧重应用与算法的实现，开设公选课为考研学生强化理论

传统的线性代数教学强化理论，弱化应用，为体现线性代数的应用性面向少量学生开设公选课.这种做法和线性代数服务于后续课程这一基本目的有一定的偏离.对大部分工科专业学生而言，从知识层面看他们只需要了解线性代数的基本理论，更重要的是熟练掌握其中各种典型问题的应用领域及解决方法；从能力层面看，重点在于用线性代数分析和解决实际问题的能力而不是理论分析的能力.所以线性代数教学应该是弱化理论、侧重应用和算法的实现.但目前硕士研究生入学考试线性代数侧重考查学生对基本概念、基本理论和基本方法的掌握情况，其中包括对理论的综合分析能力，这要求学生具备扎实的理论基础.改革后的线性代数教学弱化了理论，势必弱化了学生的理论分析能力.如何解决这一矛盾呢？由于考研学生的数量不太多，而且自学能力相对较强，学校可以在下一个学期以开设公选课的方式为这部分学生强化理论分析能力.这种做法还恰好起到了考研前第一轮复习的作用，而且很自然的将考研的准备时间提前了半年，效果会好于传统的做法.

4.3 建设好线性代数课程教学网站，帮助学生课外学习

作为课堂教学的补充，可利用课程网站供学生课外自主学习，并起到监管学生学习的作用.网站中的教学资源除包含课堂教学课件、线性代数实验指导书等基本教学资源外，还应提供丰富的线性代数的应用及其算法的实现的案例，以及线性代数的考研资源.学生能根据自身的需要自主选择内容进行学习，以弥补课堂教学课时的不足造成的理论和应用不能同时兼顾的现象.

5 结束语

在当今信息技术快速发展的时代，多数应用型本科院校具备了使用信息技术工具来改造线性代数教学的基本条件，为了能更有效地培养学生的应用能力，线性代数的教学改革势在必行，而且可行.我们相信只要教师对教学改革的必要性具有深刻的认识，面对困难时具有迎难而上的精神，“使用MATLAB改造线性代数课程”这一教学改革就能成功.

〔1〕陈怀琛.线性代数实践及MATLAB入门[M].电子工业出版社，2005.10.

〔2〕陈怀琛.MATLAB及其在理工课程中的应用指南 （第二版）[M].西安电子科技大学出版社，2004.12.

〔3〕陈怀琛，吴大正，高西全.MATLAB及在电子信息课程中的应用（第二版）[M].2003.7.

〔4〕陈怀琛.数字信号处理教程——MATLAB释义与实现[M].电子工业出版社，2004.12.

〔5〕陈怀琛.对“线性代数”课程大纲的建议.http://chen.matlabedu.cn/a/jiaoxuegaigelunwenjianyi/.2006.4.

〔6〕李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006(1).

〔7〕耿秀荣.高等数学应用能力研究的现状综观[J].北京教育学院学报(自然科学版)，2006(3).