待定系数法的应用

赵春祥

一、在不等式中的应用

例1 已知函数[y=mx2+43x+nx2+1]的最大值为7，最小值为-1，求此函数的表达式.

分析 求函数的表达式，实际上就是确定系数[m，n]的值.

解 将函数式变形：[（y-m）x2-43x+（y-n）][=0]，

∵[x∈R]，∴[△=（-43）2-4（y-m）（y-n）0]，

即[y2-（m+n）y+（mn-12）0]. ①

要使函数有最大值7，最小值-1，即[-1y7]，

显然[（y+1）（y-7）0]，即[y2-6y-70]. ②

比较①②的系数得方程组：

[m+n=6，mn-12=-7.][?][m=5，n=1，] 或[m=1，n=5.]

故所求函数的表达式为：[y=5x2+43x+1x2+1]或[y=x2+43x+5x2+1].

点拨 从上述求解过程可以看出，待定系数法可以整体使用已知条件，简化运算过程，避免出错.

二、在数列中的应用

例2 是否存在这样的等差数列[{an}]，使它的首项为1，公差不为零，且其前[3n]项中，前[n]项的和与其后[2n]项的和的比值对于任意自然数都等于常数？若存在求出数列[{an}]的通项公式及该常数；若不存在，说明理由.

解析 设存在这样的等差数列[{an}]，其公差为[d]，前[n]项的和记为[Sn]，则其后[2n]项的和为[S3n-Sn].

记[SnS3n - Sn]=[λ] （[λ]为常数），将其变形得，

（[λ]+ 1） [Sn ]=[λ][S3n ]. ①

将[Sn=n2[2+（n-1）d]]和[S3n =3n2[2+（3n-1）d] ]代入①，化简整理得，

[d（1-8λ）n+2-4λ+（2λ-1）d=0]. ②

要使②成为恒等式的充要条件是

[d（1-8λ） = 0 ，2-4λ + （2λ-1）d= 0 . ]

∵[d≠0]，∴[λ]=[18]，[d=2].

所以存在这样的等差数列[{an}]，其通项公式为[an=2n-1]，常数[λ]=[18].

点拨 有些数列问题，通过引入或研究一些尚待确定的系数来转化命题结构，经过变形与比较，建立起含有待定字母系数的方程组，由此求出相应字母系数的值，进而使问题获解.

三、在三角函数中的应用

例3 已知[f（θ）]=sin2[θ]+sin2（[θ]+[α]）+sin2（[θ]+[β]），其中[α]，[β]适合 0≤[α]<[β]≤[π]，试问 [α]，[β]取何值时，[f（θ）]的值恒为定值.

解析 [f（θ）=32]-[12[cos2θ+cos2（θ+α）]

[+cos2（θ+β）]]

=[32]-[12（1+cos2α+cos2β）cos2θ]

[+12（sin2α+sin2β）sin2θ]，

∵[f（θ）]恒为定值，即[f（θ）]的值与[θ]无关，

∴[1+cos2α+cos2β =0， sin2α+sin2β = 0，]

[?1+ cos2α=-cos2β， ① sin2α =-sin2β， ②]

①②式两边平方相加可得，cos2[α]=[-12]，

∵0<2[α]<2[π]，∴2[α]=[2π3]或2[α]=[4π3]，

∴[α]=[π3]或[α]=[2π3].

代入到②式可得，[β]=[π3]或[β]=[2π3].

又[α]<[β]，故[α]=[π3]， [β]=[2π3].

点拨 对恒为定值的三角函数求参问题，可以通过分离主变量，再视主变量的系数为零，求出参数值.

四、在平面向量中的应用

例4 一直线经过[△OAB]的重心[G]，分别交边[OA，OB]于点[P，Q]，若[OP=xOA]，[OQ=yOB]，[x，y∈R]. 求证：[x+y=3xy].

证明 延长[OG]交[AB]于[M]，则[M]为[AB]的中点.

一方面，[OG=23OM=13OA+13OB]，

另一方面，由[P，G，Q]共线，设[PQ=λGQ]，则

[OG=11 + λOP][+λ1 + λOQ][=x1 + λOA][+λy1 + λOB，]

∵[OA]与[OB]不共线，

∴由平面向量基本定理得，[x1 + λ = 13 ，λ y1 + λ = 13 .]

[?][11 + λ = 13x ，λ1 + λ = 13y .][?][13x]+[13y]= 1，

∴[x+y=3xy].

点拨 平面向量基本定理中的有关问题，实质均与待定系数法有关.

五、在圆锥曲线中的应用

例5 求经过两点[P1]（[13]，[13]），[P2]（0，-[12]）的椭圆的标准方程.

解析 方法一 因为椭圆的焦点位置不确定，故可考虑两种情形：

（1）当椭圆的焦点[x]轴上时，设椭圆的标准方程为[x2a2+y2b2=1 （a>b>0）].

依题意知，[（13）2a2+（13）2b2=1，（-12）2b2=1.][?][a2=15，b2=14.]

∵[a2=15]<[b2=14]，∴此方程无解.

（2）当椭圆的焦点[y]轴上时，设椭圆的标准方程为[y2a2+x2b2=1 （a>b>0）].

依题意知，[（13）2a2+（13）2b2=1，（-12）2a2=1.][?][a2=14，b2=15.]

故所求椭圆的方程为[4y2+5x2=1].

方法二 设所求椭圆的方程为[Ay2+Bx2=1] [（A>0，B>0）]. 依题意可得，

[A（13）2+B（13）2=1，B（-12）2=1.][?A=5，B=4.]

故所求椭圆的方程为[4y2+5x2=1].

点拨 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面. “定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定[a2]，[b2]的具体位置，常用待定系数法.

六、在数列极限中的应用

例6 已知数列[{an}]是首项为1，公差为[d]的等差数列，其前[n]项的和为[An]，[{bn}]是首项为1，公比为[q（|q|<1）]的等比数列，其前[n]项的和为[Bn]，设[Sn]=[B1+B2+…+Bn]，若[limn→∞]（[A nn]-[Sn]）=1，求[d]和[q]的值.

解析 ∵[Bn]=[1 - qn1 - q]，

∴[Sn]=[n1 - q]-[11 - q][（q+q2+…+qn）]

=[n1 - q]-[q（1 - qn）（1 - q）2].

又[A nn]= 1+[n - 12d]，

∴[limn→∞]（[A nn]-[Sn]） =[limn→∞][1-[d2]+[q（1 - q）2]+（[d2]-[11 - q）n]-[ qn + 1（1 - q）2]] = 1.

∵[|q|<1]，[limn→∞qn]=0，

∴[1 - d2 + q（1 - q）2 = 1 ，d2 - 11 - q = 0 . ][?][d = 4，q = 12 . ]

即[d=4]，[q=12]为所求.

点拨 逆向极限的求参问题，从已知的极限入手，运用待定系数法，构建参数的方程组，通过解方程组求得问题的解.