悬臂梁智能结构主共振响应的最优化控制

刘灿昌 裘进浩 孙慧玉 季宏丽 刘 露

1.南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京，210016

2.山东理工大学，淄博，255049

0 引言

机械柔性结构在工程领域得到广泛应用，如航天飞机和大型空间站中的柔性机械臂、太阳能帆板以及卫星天线等。随着机械结构不断向大型化、高速化和柔性化方向发展，对结构的精度、可靠性和稳定性的要求也越来越高，非线性因素对结构设计和控制的影响也越来越突出，因而柔性结构的动力学振动与控制问题的研究显得日益重要。国内外很多学者使用理论分析和实验方法对机械系统的非线性动力学特性进行了研究［1－3］。李韶华等［4］利用平均法研究了单自由度多频激励非线性汽车悬架系统的主共振和系统参数对汽车主共振控制的影响。冯霏等［5］研究了主共振、超谐波共振、次谐波共振以及内组合共振条件下的非线性悬架系统在非线性参数不同时的幅频响应。丁虎等［6］运用微分求积法数值研究了不同边界条件下轴向运动黏弹性梁受到简谐外激励的横向受迫振动稳态响应问题。赵艳影等［7］研究了时滞非线性动力吸振器对承受外激励的主系统减振的作用规律，通过调节反馈增益系数和时滞来控制主系统的振动。

本文提出一种结构体非线性振动的最优化控制方法。利用悬臂梁主共振振动实验实测数据，用最优化方法计算得到速度和位移控制参数，设计最优化控制器，搭建实验控制电路，将粘贴在梁上的压电传感器产生的电压信号输入到控制系统，控制系统将输入的信号进行放大处理后输给压电驱动器，由压电驱动器对梁的振动进行控制。

1 主共振响应的减振控制

悬臂梁模型假设为Euler－Bernoulli梁，当激励力频率接近于梁某阶振动模态的固有频率时，系统会发生主共振响应，这时主共振梁可以简化为单自由度振动系统，其振动的动力学方程可以写为［8－10］

引入正小参数ε和含有位移及速度反馈控制器，非线性振动系统的动力学方程可写为

式中，gi1为位移反馈系数；gi2为速度反馈系数。

为计算简便，作如下变换，令

则式（2）成为

当柔性体结构为弱几何非线性时，小阻尼和小激励作用情况下，通常将结构的振动近似看作弱非线性振动［9-11］。对悬臂梁柔性结构的主共振分析，大部分文献采用弱非线性的处理方法［11-14］。本文研究的悬臂梁为一柔性结构，基础激励较小，其振动可以近似视为弱非线性振动，可以采用摄动法分析其振动控制行为，将式（4）的响应解和激励频率写为幂级数形式：

其中σ为调谐参数。将式（5）和（6）代入式（4），令方程两边ε的同次幂的系数和为零，得到

式（7）的解为

式中，ai、θi分别为振动幅值和相位。

将式（9）代入式（8）得到

消除式（10）中的久期项，得到

消去θi后，得

式（13）为σ与a i之间的频率振幅响应方程。由幅频方程可以得到系统主共振响应的峰值大小为

式（2）的一次近似解为

由主共振响应的峰值表达式可知，aimax与μie有关，增大μie的值，可以有效地减小aimax的值，从而达到控制非线性系统的目的。

作为对照，非线性振动系统无反馈时，非线性振动方程可以写为［14］

系统的σ与之间的频率振幅响应方程为

由幅频式（17）可以得到主共振响应的峰值大小为

由于非线性系统通常难以求得解析解，非线性系统的减振效果不能像线性系统一样通过响应幅值比和激励力幅值比来讨论，另外非线性系统振动与初始条件相关的稳定解具有多值性，因而研究非线性振动的减振效果较为复杂，可以通过分析主振动峰值大小的比例来分析非线性主振动的减振效果。引入非线性振动的衰减系数［15］：

当μi与g i2同号时，g i2绝对值越大，衰减率越小，减振效果越好；反之，当μi与g i2异号时，衰减率大于1或为负值，减振器失去效果或控制失去意义。

2 主共振响应控制器设计

对于系统的非线性振动，当幅频方程中的参数满足一定条件时，跳跃现象、鞍结分岔和方程解的多值性等非线性现象就有可能发生，导致系统的振动变得不稳定，因而要实现非线性系统的减振控制就要避开这些不稳定因素，同时也要设计合理的控制器，减小非线性振动幅值。解的稳定性条件可以由式（11）和式（12）对应雅可比行列式的特征值而得到，其特征值λ满足特征方程：

分析上式解可以得到：μie＜0，振动系统不稳定；μie＝0，特征值是一对纯虚根，系统可能发生Hopf分岔；μie＞0，两根之和恒为负。综合分析可以得到系统稳定的充分条件［11，16］：

当方程f（σ）＝0有两个实数解时，方程的解为

令

或

显然式（21）满足f（σ±）＞0，因而可以得到

由式（22）得到速度反馈控制参数范围，由式（24）可以得到位移反馈控制参数范围，据此可以设计非线性振动主共振控制器，该控制器考虑了非线性振动系统的稳定性，具有稳定的控制效果。

3 控制器参数最优化设计分析

通过对非线性振动系统的稳定性分析，我们得到反馈增益参数取值范围，但是对系统的最佳控制参数还很难得到，为此我们进一步构造目标函数，利用最优化原理来确定最佳控制参数。

3.1 基于衰减率最优化参数设计

以非线性振动系统的衰减率为目标函数，以反馈增益参数取值范围为约束条件，求解最佳的速度反馈参数。该模型可表示为

由上式可以计算得到速度反馈系数的数值。

3.2 基于能量最小的最优化参数设计

以非线性振动系统的能量函数为目标函数，以反馈参数取值范围为约束条件，求解最佳的位移反馈参数。构造非线性振动系统能量函数为［17］

由主共振响应的一次近似解可得响应的最大值为

将式（27）代入式（26）得到能量的最值函数：

则

由式（25）可以求得gi2，因而可以求出μie的值，再由式（29）求得gi1的值。

4 振动阻尼测量

对于压电传感器，外加电场为零，当柔性梁振动时，粘贴于梁表面的压电传感器产生感应电荷，则压电片上产生的输出电压为［18］

由式（30）可以得到响应峰值为

利用系统的非线性振动的幅频方程可以确定系统的阻尼。系统无控制时，由主共振响应的峰值式（18）可以得到［19-20］：

利用上式可以得到各阶模态方程对应的阻尼系数。

5 实验分析

以粘贴压电传感器的悬臂梁为实验实例，由压电传感器、最优化控制器和压电驱动器组成一个闭环控制回路，对悬臂梁进行减振控制。梁的上层压电片作为传感器粘贴在上表面，随着梁的振动而变形（图1）。由压电效应可知，随着梁变形而缩短或伸长的压电片会产生电压信号，利用dSPACE采集压电传感器的电压信号，送入最优化减振控制器。压电驱动器粘贴在与压电传感器相同位置的梁的下表面，接收控制系统传来的控制电压信号，产生控制力偶矩，对梁进行减振控制。

图1 压电悬臂梁控制系统模型

基梁为铝材料梁，其几何和物理参数为：长238mm，宽 50mm，高 0.93mm，弹 性 模 量E＝70GPa。压电材料采用PZT型压电陶瓷，压电传感器和驱动器的几何和物理参数均为20mm×20mm×0.2mm，压电片弹性模量Epe＝63GPa，g31＝10.6μV/N，Cp＝65nF。压电感应器和驱动器的位置坐标参数均为ξ1＝15mm，ξ2＝35mm。

忽略压电传感器的影响，由理论计算得到悬臂梁前两阶固有频率理论值分别为13.2788Hz、83.223Hz。通过扫频的方式测量得到悬臂梁前两阶的固有频率分别为16.02Hz、91.56Hz。由式（32）可以得到前两阶时域方程的阻尼系数分别为12.29和70.27。利用YE15400型激振器给悬臂梁施加一基础振动，利用dSPACE数据采集系统采集压电传感器数据信号，应用MATLAB7.0快速傅里叶程序生成主共振振动图像，由图像读出振动幅值电压。由式（31）可以计算得到aimax。由式（25）计算得到前两阶稳定的速度反馈控制系数最小值分别为14.48和21.36，由于μi和g i2均为正值，由式（25）可知，gi2取值越大，衰减率越小，控制效果越好，因而为了取得较好的控制效果，反馈控制参数应尽可能取值大一些。由式（29）可以得到能量最小的前两阶位移反馈系数最大值分别为－12.28和－6.28。

利用反馈控制方法实现梁非线性主共振振动的主动控制。考虑控制系统的安全和实验实际，一阶和二阶控制参数分别取为g11＝－15，g12＝55；g21＝－7，g22＝65，增益值均满足式（22）和式（24）的要求。应用MATLAB7.0快速傅里叶程序生成振动控制图像，如图2～图5所示。图2和图3分别为一阶主共振共振时域和幅频图像，由图可知，振动幅值减小了18.13dB。图4和图5分别是二阶主共振共振时域和幅频图像，二阶模态的位移幅值减小了11.78dB。可见，梁的前两阶模态的振动幅值都受到了明显的抑制。

图2 悬臂梁一阶主共振响应时域图

图3 悬臂梁一阶主共振响应幅频图

图4 悬臂梁二阶主共振响应时域图像

6 结论

（1）本研究探索了一种基于主共振振动稳定条件的位移和速度反馈控制参数的求解方法，能够定量地给出反馈控制参数范围，该方法避免了以往采用尝试法确定控制参数的弊端。应用最优化方法，得到衰减率和能量函数值最小的控制参数，该方法一方面考虑最优的减振效果，另一方面也考虑控制输入能量和振动能量最小，有利于控制器的优化设计。

图5 悬臂梁二阶主共振响应幅频图

（2）该算法对应的控制器电路结构简单，容易实现。压电控制器控制效率高，因而该控制策略对于柔性结构的非线性振动控制具有较好优越性。

（3）该方法能较快确定有效控制参数范围，有利于实验参数的确定。实验结果表明该控制方法能有效地减小主共振振动幅值，减振控制效果较好。

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