自适应抗差滤波理论及应用的主要进展

杨元喜，任 夏，许 艳

（1.地理空间信息国家重点实验室，西安 710054；2.西安测绘研究所，西安 710054；3.郑州信息工程大学导航与空间目标学院，郑州 450052；4.长安大学 地质与测绘工程学院，西安 710054）

1 引言

目标跟踪或导航一般采用自适应滤波技术，因为相应的系统模型一般是未知 （或部分未知）或随时间变化的。与 Sage－Husa自适应滤波［1-3］以及有限记忆滤波［4］不同，中国学者建立了一种新的自适应抗差滤波理论［5-6］，该理论应用抗差估计原理控制观测异常的影响，引进自适应因子控制动力学模型误差的影响。

自适应滤波必然涉及到误差判别统计量以及自适应因子。于是，先后构建了4种动力学模型误差学习统计量，即状态不符值统计量［5-6］、预测残差统计量［7-8］、基于观测信息与动力学模型预测信息的方差分量比统计量［9］和基于模型预测速度与计算速度不符值统计量［10］；并建立了4种自适应因子，即三段函数模型［5］、两段函数模型［6］、指数函数模型［11］和选权函数模型［12-13］。

若要求预测状态向量的理论协方差矩阵等于或约等于估计的状态协方差矩阵，或要求预测残差理论协方差矩阵等于或约等于估计的预测残差协方差矩阵时，又得到了两类最优自适应因子［14］。之后又发展了分类因子自适应滤波［10］和多因子自适应滤波［15］。当多因子变成单因子时，多因子自适应滤波即为单因子自适应滤波；当多因子中仅含有位置参数因子和速度因子时，多因子自适应滤波又变成分类因子自适应滤波。

为了进一步减弱模型误差的影响，先后又发展了基于当前加速度模型的抗差自适应Kalman滤波［16］，并研究了自适应抗差滤波与神经网络的结合［17-18］，解决动态模型构造问题；有学者将自适应抗差滤波与误差探测、诊断、调节 （即DIA方法，detection，identification and adaptation）相结合［19］，或与 抗 差 Kalman 滤 波［20-24］相 结 合。为 了控制非线性动力学模型误差的影响，又提出了一种提高神经网络泛化能力的自适应UKF滤波算法［25］和一种基于Bancroft算法的GPS动态抗差自适应滤波［26］。

2 自适应抗差滤波原理

假设线性动力学模型和观测模型分别为

式中，Xk为tk时刻m×1维状态参数向量，Φk，k－1为u×u维状态转移矩阵，Wk为动力学模型噪声向量，Lk为nk×1维观测向量，Ak为nk×m维设计矩阵，ek为观测噪声向量。假设Wk和ek的数学期望为零，且协方差矩阵分别为ΣWk和Σk，并假设Wk、Wj、ek以及ej互不相关。再进一步假设观测残差向量为Vk，状态预测向量为，则观测误差方程及状态预测方程为

式 中，和－1分别 为tk和tk－1时 刻 的 状 态 估 计向量。

自适应抗差滤波原则为

式中，ρ为连续非减凸函数［27－29］，pi为观测向量Lk的权矩阵Pk＝的第i个对角分量，αk（0＜αk≤1）为自适应因子，＝为预测状态向量的权矩阵。式 （5）求极值后得到［5］

式 （6）可以等价地表示成［33，34］

状态向量验后协方差矩阵为

3 简单分析

随着自适应因子αk和观测等价权矩阵的不同，可以得到不同的滤波解。

情形1：若αk＝0且＝Σk或＝Pk，则有

式 （10）为最小二乘平差情形，即状态参数仅由tk历元的观测向量估计，不使用任何动力学模型信息。这类估计要求观测信息丰富，且未受异常污染。

情形2：若αk＝1且＝Σk，则得到标准Kalman滤波解，即

情形3：若αk在0和1之间变化，且＝Pk，则有

式 （13）为自适应Kalman滤波解，该估计要求观测信息可靠。

情形4：若αk＝0，则有

式 （14）为仅利用tk历元观测信息的抗差估计解［28－29，31］。

情形5：若αk＝1，则有

式 （15）为 M－LS滤波解［23］。

情形6：若观测向量Lk和状态预测向量的协方差矩阵由Sage开窗法获得［1］，分别表示为和，即

则自适应抗差滤波变成了Sage自适应滤波。

自适应抗差滤波与各种派生滤波之间的关系由图1表示。

图1 自适应抗差滤波

4 三种误差判别统计量

4.1 状态不符值统计量

假设在tk历元观测向量Lk，则由观测信息可以获得状态参数的估计

则模型误差的判别统计量可构造成

式中，“tr”表示矩阵的迹。

简单分析：（1）计算历元的观测数量要大于待估状态参数的数量，否则不可能计算出Δ；（2）由观测量估计的状态参数向量应尽可能精确，否则统计量Δ不能反映动力学模型的误差；（3）统计量Δ仅反映模型的整体误差，任何状态分量的扰动都将视为整体模型存在扰动。

4.2 预测残差统计量

若观测向量Lk可靠，预测残差向量将反映预测状态向量的误差，如此，可构造如下误差判别统计量［7-8］

4.3 方差分量比统计量

如果将Lk和看成tk时刻的两组观测向量，则它们的方差分量应能反映其相应的观测精度和模型精度，于是可用方差分量比构造误差判别统计量，Lk和的Helmert方差分量估计公式为［35－36］

式中，和分别为Lk和的方差分量，rk和分别为Lk和的多余观测分量，Vk和分别为Lk和的残差向量，

由方差分量比表示的模型误差统计量为

简单分析： （1）Sk的计算需要有多余观测分量，否则该统计量不能有效地反映模型误差；（2）Vk和相应于相同的状态估计向量；（3）如果采用迭代计算，则Sk的计算量稍大于Δ和Δ的计算量。

4.4 速度不符值统计量

则模型误差判别统计量可表示成预测速度与估计速度的不符值的函数，

式中，为由动力学模型预测的速度向量，Σ˙Xk为相应的协方差矩阵。

简单分析：（1）如果Δ显著异常，则表明预测速度存在异常，或动力学模型存在较大误差；（2）Δ的计算也要求有多余观测信息，否则无法获得。

5 4种自适应因子

5.1 三段函数表示的自适应因子

三段函数模型由3部分组成，即当模型误差统计量小于一个特定阈值时，αk等于1；当模型误差大于特定的阈值时，αk等于0；否则，αk大于0，小于1。函数形式为［5］

其中，c0和c1分别为两个特定的常量，通常取值为c0＝1.0～1.5，c1＝3.0～4.5。

5.2 两段函数表示的自适应因子

式中，c为常量，其最优值为1.0［8］。

5.3 指数函数表示的自适应因子

指数函数表示的自适应因子为［37］

式中，c为常量，与式 （31）类似。

5.4 选权法表示的自适应因子

如果状态参数向量服从正态分布，则自适应因子为1，否则为0［13，38］

6 应用研究进展

在应用方面，自适应抗差滤波已成功应用于卫星轨道测定［39］，大地网重复观测的数据处理［40］等；并研究了附有函数模型约束的自适应滤波导航算法［41］；在组合导航方面，发展了IMU/GPS组合导航自适应Kalman滤波算法［42］和GPS/INS组合导航两步自适应抗差Kalman滤波算法［43］；为了同时控制有色噪声与动力学模型误差的影响，研究了多种有色噪声自适应滤波算法［44］；在导航卫星钟差拟合与预报研究中，提出了钟差估计的开窗分类因子抗差自适应序贯平差法［45］和卫星钟误差实时估计的多因子抗差自适应滤波方法［46］；将自适应滤波用于物理模型与几何观测信息组估计地壳形变参数也取得进展［47］。

在实际工程中，自适应滤波理论和软件已经成功应用于我国GPS道路修测工程。这里仅给出两个典型截图，图2中给出了三种道路修测结果，即，差分GPS定位、接收机输出定位和自适应抗差滤波定位。三种结果绘于同一张1/50 000的航空影像图上 （见图2 （a）和图2 （b））。

图2 自适应抗差滤波定位、接收机输出定位及差分GPS定位的轨迹

图2（a）和图2（b）清楚地显示，接收机导航结果和差分导航结果均含有明显的系统误差；如果差分观测量的个数少于状态参数的个数，则差分GPS将给不出导航结果，或给出错误的结果；但是自适应抗差滤波总能给出较合理的导航结果。

7 结论

业已证明，包容了观测历元平差、标准Kalman滤波、抗差滤波和自适应滤波的新的自适应抗差滤波不仅能控制观测异常误差的影响，而且具有较强的控制动力学模型误差影响的能力。于是它是一种有效、可靠且灵活的导航定位方法。建立的四种误差判别统计量均能可靠地判别模型误差，四种自适应因子均能较合理地调节动力学模型信息和观测信息对导航状态参数的贡献。

中国学者除不断完善新建立的自适应抗差滤波理论体系外，还对现有自适应滤波存在的问题进行了分析［5，48］；研究了自适应抗差滤波的性质［49］；建立了分类因子自适应滤波［10］和多因子自适应滤波理论［15］；推导了最优自适应因子模型［8］。

在应用方面，自适应滤波已被成功地应用于GPS道路修测与更新工程［50］，大地网的自适应序贯平差［40］，以及卫星轨道测定研究［39］等 。

自适应抗差滤波还可应用于其他动态数据处理领域，如地壳形变分析，其中自适应因子可用来调节动力学形变模型信息的影响，抗差等价权矩阵可用来控制动态观测 （如GPS）异常误差对形变参数估计的影响。

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