基于进化策略有频率禁区的结构优化设计方法

程沙沙，苏国韶，燕柳斌

广西大学土木建筑工程学院工程防灾与结构安全教育部重点实验室，南宁 530004

基于进化策略有频率禁区的结构优化设计方法

程沙沙，苏国韶，燕柳斌

广西大学土木建筑工程学院工程防灾与结构安全教育部重点实验室，南宁 530004

1 引言

结构动力特性是结构设计中的重要指标。为了使结构的固有频率远离激振频率带宽，通过结构优化设计，可有效地避免谐振现象的发生，避免结构破坏。对于复杂结构，其动力结构优化问题本质上是一种高度非线形的全局优化问题，传统的优化算法在求解的过程中往往容易陷入局部最优，而且优化结果往往依赖于寻优出发点，出发点选择不当，就不能得到最优解[1～4]。针对传统优化方法的局限性，近年来国内外的一些学者将仿生全局优化算法，如遗传算法（GA）、进化策略（ES）、粒子群优化算法（PSO）、人工蜂群算法（ABC）等，应用于工程结构设计中，取得了良好的效果[5～8]。但是，大型复杂工程结构分析通常需要借助有限元分析来获得结构响应，采用上述仿生随机优化算法进行结构分析时，往往需要大量的有限元分析次数。对于大型复杂结构而言，一次有限元分析的时间较长，大量的有限元分析令人难以忍受，使上述仿生全局优化算法在实际的工程应用中受到很大的限制。因此，寻找一种效率更高的全局优化方法势在必行。

自适应协方差矩阵进化策略（Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy，CMA-ES）是Nikolaus Hansen等人在进化策略的基础上发展起来的一种新型全局优化算法[9]。与原来的进化策略算法相同，也是从一组初始的种群出发，通过突变、竞争和选择、重组等，根据其适应性的大小来选择个体，适应度最优的个体来形成下一代种群，如此反复循环，直至最后接近最优解。研究表明，与其他仿生全局优化算法相比较，CMA-ES算法的主要特点是全局寻优性能好且寻优效率高[10]。

本文拟将CMA-ES算法引入到有频率禁区的桁架结构截面和形状优化领域中去，为高效快速地解决此类结构优化问题提供一种新的途径。

2 考虑频率禁区的结构优化数学模型

2.1 目标函数

有频率禁区的桁架结构截面优化或形状优化的目标就是在满足频率要求，同时满足静态强度（如几何约束、应力约束等）的情况下使桁架的重量最轻，故选取重量的大小来评价桁架的优劣。其目标函数为：

式中，X=[A1，A2，…，AM，O1，O2，…，ONj]为结构的设计变量；ρe、Ae、Le分别为杆件e的材料密度、截面面积和长度；Oi为节点i的坐标，M为杆件截面的设计变量总数，Nj为节点的设计变量总数。

2.2 约束条件

（1）频率约束条件：

（2）几何约束条件：

（3）应力约束条件：

式中，σe和[σe]分别为杆件的实际应力值和极限应力值。

3 基于进化策略的结构优化方法

3.1 进化策略算法的基本原理

CMA-ES算法是从给定的或是随机产生的一个初始搜索点出发，以该初始点为搜索中心，按照一定的概率密度随机生成第一代种群（λ个），并评价该种群中所有个体的适应度。选择适应度较好的μ个个体组成新的种群来更新进化策略参数，利用进化策略参数调整下一代种群的进化方向，从而进行突变生成下一代种群，如此反复，直至逼近最优解，见图1。

图1 二维空间下种群进化示意图（图中斜线表示目标函数的等高线）

CMA-ES算法通过动态的步长参数σ和动态的正定协方差矩阵C来引导种群的突变进化方向，其基本方程如下：

CMA-ES算法在随机搜索的过程中引入进化路径的概念，充分利用了种群的寻优历史信息，并用动态参数控制历史信息的学习程度和方向，有效地避免了种群退化。同时在进化过程中只需要很小的种群，从而大大减少了函数评价次数。受篇幅限制，CMA-ES算法基本原理详见文献[9]。

3.2 基于CMA-ES算法与有限元的结构优化设计方法

本文采用MATLAB平台编制CMA-ES算法程序，然后将CMA-ES算法融入有限元结构分析软件ANSYS中，建立了有频率禁区的结构截面和形状优化的CMA-ES方法。优化方法实现步骤如下（参见图2）：

步骤1在MATLAB软件中运行CMA-ES算法，随机产生初始设计变量，并保存到文件A中。

步骤2利用MATLAB软件启动ANSYS有限元分析软件，在ANSYS环境中利用APDL语言读文件A，获得初始设计变量，然后进行有限元建模和求解，再把重量、频率、应力、节点坐标等计算结果写入文件B，之后关闭ANSYS，返回到MATLAB环境中。

步骤3利用MATLAB程序读取结果文件B，代入适应度函数，获得所有个体的适应度，CMA-ES算法评价并选出当前代最小的适应度。

步骤4对当前代的最小适应度做精度判断，如果满足收敛条件，则计算终止，保存当前最优解；否则，根据适应度更新CMA-ES算法的策略参数σ和C，获得下一代种群的均值点和突变方向，生成下一代种群（多个设计变量），并把设计变量保存到文件A中，转回步骤2。

图2 CMA-ES优化方法的实现步骤

在本文方法中，通过动态加权罚函数法将有约束的结构优化问题转为无约束优化问题，当频率ω或应力σ超过限值时，惩罚值为差值的p1或p2倍，通过改变p1和p2值可以控制目标变量F的惩罚程度。对于以结构重量W作为优化目标的问题，适应度函数的通式如下：

下面采用两个经典的桁架优化算例进行方法的可行性验证，各算例的优化目标均为桁架重量最小，并满足一定的频率、几何和应力约束。优化计算采用的PC机配置为Intel 2.40 GHz处理器和2 GB内存。

4 工程算例

4.1 桁架截面优化

一个10杆桁架结构如图3所示，a=9.144 m(360 in)，弹性模量为6.89×1010Pa(107psi)，密度为2 770 kg/m3(0.11 b/in3)，频率界限为不小于21 Hz，初始截面面积都为40 cm2（6.2 in2），泊松比为0.3，求最优桁架截面设计。

图3 平面10杆桁架结构图

优化数学模型如下所示。

约束条件：ω1(xi)≥21 Hz，0.6 cm2＜xi＜130 cm2。其中，xi为设计变量，代表杆件横截面积，i表示杆件编号；Li为杆件i长度；ω1(xi)代表杆件一阶固有频率。

CMA-ES算法的参数设置：初始步长0.004；种群数为10。

PSO算法的参数设置：种群数为30；学习因子C1=C2=2.0。

分别采用PSO与本文方法进行优化，各算例均设置相同的目标函数和搜索区间，每种算法运行20次，取每种算法最好的结果作为优化结果，见表1。

从表1可以看出，对于10杆结构，通过本文进行截面优化可以得到比较理想的结果。与初始状态相比，在满足频率和横截面积等约束条件下用本文方法进行500次的函数评价时，结构重量优于改进信赖域法[11]，由原方案的1 181.02 kg减少到703.86 kg，下降了40.4%，频率由原来的15.179 Hz提高到21.622 Hz。用本文方法对桁架结构进行850次函数评价，在满足横截面积和频率等约束条件下，结构重量又有大幅度的下降，与原方案相比，重量由1 181.02 kg减少到497.17 kg，比初始值下降了57.9%，同时，在相同有限元分析次数的前提下，本文方法明显优于PSO的优化结果，说明其寻优能力远高于PSO算法。

表1 平面10杆桁架的优化结果

4.2 桁架形状优化

平面40杆桁架桥，结构几何初始尺寸如图4所示。材料的弹性模量均为2×107t/m2，比重均为7.8 t/m3，许用拉压应力为±16 000 t/m2。结构要求其自振基频不大于100 s-1，而二阶频率不小于200 s-1。杆件分类见表2，除支撑杆以外，各类杆件截面允许值均应在0.002 5 m2和0.050 0 m2之间，支承杆截面均为0.050 0 m2不变。桥的外形变化仅允许上弦的8个节点在铅直方向移动，下限是3 m，上限是1 m。桥下弦跨中6个节点分别作用有铅直向下的集中力P=10 t。

图4 平面40杆桁架桥初始示意图（单位：m）

表2 平面40杆桁架桥杆件分类

优化数学模型如下所示。

23维设计变量：

其中，xi为设计变量，代表杆件的横截面积，i表示对杆件的编号；Li为杆件i长度；ω1(xi)和ω2(xi)代表杆件的一阶和二阶固有频率。除了支撑杆截面均为0.050 0 m2不变外，其他给定初始各杆件横截面积都相同，都为0.005 0 m2。节点坐标根据对称性进行分类：y16=y9，y15=y10，y14=y11，y13=y12。

CMA-ES算法的参数设置：初始步长取0.014；种群数为13。

PSO算法的参数设置：种群数为30；学习因子C1=C2=2.0。

分别采用PSO与本文方法进行优化，各算例均设置相同的目标函数和搜索区间，每种算法运行20次，取每种算法最好的结果作为优化结果，见表3，桁架形状优化结果见图5。

表3 平面40杆桁架桥优化结果

图5 平面40杆桁架优化结果（单位：m）

从表3可看出，在满足应力和几何约束条件下，用PSO算法进行15 000次函数评价，能够得到比较理想的优化结果，结构重量由原方案的5.621 t减少到2.556 t，下降了54.5%。而用本文方法进行相同的有限元分析次数时，优化结果为2.487 t，明显优于优化准则法[12]、复合形法[13]与PSO的优化结果，再次表明了本文方法的高效性。

5 结语

（1）研究结果表明，本文方法是可行性的，具有全局性能好，效率高等优点，为桁架结构动力优化设计提供了新的途径。

（2）本文方法采用MATLAB平台调用ANSYS有限元大型通用软件的技术手段来实现，无需编制复杂的有限元程序，具有容易实现的特点，方便结构工程师们的应用。

（3）当前工程结构呈现日益多样化和复杂化的趋势，本文方法针对高维度复杂工程动力结构优化的适应性问题，尚需今后进一步研究。

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CHENG Shasha,SU Guoshao,YAN Liubin

Key Laboratory of Disaster Prevention and Structural Safety,School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University, Nanning 530004,China

For depart frequency bandwidth,the method is to adjust component sections or nodes’coordinates to change the dynamic characteristics on premise of static intensity being satisfied,so called optimization design of truss structure with frequency forbidden zone.Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy（CMA-ES）,which is a global optimization algorithm with the advantages of high efficiency and robustness,has become a powerful tool for solving highly nonlinear multidimensional optimization problems.Combining finite element method,an optimal method of truss structure with frequency forbidden zone based on CMA-ES algorithm is proposed.The results of examples show that the method is feasible and has the merits of excellent global optimization performance and efficiency compared with traditional and Particle Swarm Optimization（PSO）method.

frequency forbidden zone;structural optimization;truss;Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy（CMA-ES）algorithm

有频率禁区的桁架结构优化设计是在结构保证静态强度的前提下，通过调整构件的截面或节点坐标来改变结构的动力特性，从而避开激振频率带宽。自适应协方差矩阵进化策略（CMA-ES）算法是一种寻优效率高、鲁棒性好的全局优化算法，对处理复杂的非线性多维度的优化问题有很好的适应性。在考虑工艺可行性的基础上，结合有限元分析软件，提出了基于CMA-ES算法的有频率禁区的桁架结构优化设计方法。算例研究表明，该方法是可行的，与传统优化方法、粒子群优化方法相比较，具有全局寻优性能好、效率高的优点。

频率禁区；结构优化；桁架；自适应协方差矩阵进化策略算法（CMA-ES）

A

TU323.4

10.3778/j.issn.1002-8331.1201-0156

CHENG Shasha,SU Guoshao,YAN Liubin.Structural optimization design method with frequency forbidden zone using evolution strategy.Computer Engineering and Applications,2013,49（19）：250-253.

广西理工科学实验中心重点项目（No.LGZX201001）。

程沙沙（1986—），女，硕士研究生，研究方向为智能方法及其土木工程应用。E-mail：sha345678@163.com

2012-01-10

2012-03-06

1002-8331（2013）19-0250-04

CNKI出版日期：2012-06-01http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120601.1457.034.html