模糊聚类分析在我国各省市经济发展综合实力评价中的应用

韦 相

(红河学院计算机科学与技术系，云南蒙自 661100)

改革开放以来，我国各省市因起点不同，再加上资源、技术、地域及政策等条件的差异，使我国各省市的经济发展水平存在较大的差异，特别是东部和西部的经济水平差异更大.因此，对各省市的经济发展水平进行分析，总结出经济发展的优势和劣势，有针对性的制定经济发展战略，有利于促进国民经济的协调发展［1］.

聚类是根据数据自身的相似程度，将数据分到不同的类或者簇的过程，因此同一簇中的对象相似性大，而不同簇间的对象相似性小［2］.一个对象要么属于此簇，要么不属于此簇，不存在介于二者之间的情况，这是一种硬划分的聚类算法［3－4］.

模糊聚类方法在硬划分的基础上引进模糊性，它使得各个对象以不同的隶属度划分到各个簇中，模糊聚类方法基于Zadeh提出的模糊集概念和模糊数学方法.模糊聚类能够有效地对反映对象既属于这个集合，又属于那个集合这种现象，所得的聚类结果明显的优于硬聚类，更客观更准确地反映现实情况.

模糊聚类算法有模糊c－均值聚类算法和基于模糊关系的传递闭包等.本文使用基于模糊关系的传递闭包来实现对31省市的指标数据进行的聚类分析，基于两种原因:①省市的指标数据不好硬性划分，具有模糊性，而模糊相似矩阵能很好的处理模糊现象;②使用模糊c－均值聚类算法(FCM)［5］需要事先确定聚类的簇数c以及每个簇的聚类中心，而对于这些指标数据来说，事先很难确定簇数c和每簇的聚类中心，而模糊相似矩阵不需要事先确定聚类中心，可以根据等价矩阵，获得详细的动态聚类图，方便用户按照自己的理解方式划分簇数，因而该算法得到广泛的应用.文献［6］使用模糊聚类算法实现对Web日志的聚类分析，文献［7］使用模糊聚类分析对Web文档进行预取，提高网页服务器效率;文献［8］使用模糊聚类算法对DNA序列进行聚类分析，准确度很高.

1 经济指标的选择和数据收集

经济的协调发展涉及到很多因素，包括:人口、经济、社会、资源、环境等方面内容，每一方面的内部都涉及到很多的因素，所以它是一个内在关系极其复杂的现实系统，本文选取的指标包括:人口系统的人力资源相关指标、经济系统的经济增长相关指标以及社会系统的生活质量相关指标，建立起一个科学的综合评估指标体系［9］.本文选取2009年全国31个省市的9项指标，从人力资源、经济增长和生活质量3个方面分析地方经济:

1)人力资源:X1－就业人数(万人);

2)经济增长:X2固定资产投入(亿元);X3－第一产业总产值(亿元);X4－第二产业总产值(亿元);X5－第三产业总产值(亿元);X6－人均生产总值(元);

3)生活质量:X7－城镇单位就业人员平均工资(元);X8－居民消费水平(元);X9－社会消费品零售总额(亿元).

上述指标的具体数据来源于《中国统计年鉴2010》，具体数据如表1［10］.

表1 31个省市9项指标原始数据Tab.1 The nine indicators raw data of the 31 provinces

对上表的数据进行标准化处理，本文采用的标准化方法是平移法的极差变换:

说明:max{xij1≤i≤31}表示第 j(1，2，…，9)列的最大值，min{xij1≤i≤31}表示第 j(1，2，…，9)列的最小值.

标准化后得到的数据如下表2(因内容过多，本文只给出16省的标准化数据).

2.1.1 线性关系的考察。以对照品溶液浓度为横坐标(X)、峰面积为纵坐标(Y)，绘制标准曲线，得出回归方程。结果显示(表1)，绿原酸、葫芦巴碱、D-(-)-奎宁酸和咖啡酸分别在14.6～146.0 μg/mL(r=1.000 0)、10.2～102.0 μg/mL(r=1.000 0)、11.6～116.0 μg/mL(r=0.999 8)、0.499 5～4.995 0 μg/mL(r=0.999 8)的浓度范围内线性关系良好。

表2 16个省市9项指标的标准数据Tab.2 The Nine Indicators standard Data of the 16 Province

2 模糊相似矩阵建立方法

根据以下两个定义，建立模糊相似矩阵.

定义1模糊相似关系:设有论域X，X×X是X上各元素之间的模糊关系，对于任意x，y∈X，满足:

i)自反性:R(x，x)=1;ii)对称性:R(x，y)=R(y，x);

当论域X={x1，x2，…，xn}为有限时，模糊关系R就构成模糊相似矩阵.

两个向量的相似性可以使用距离法或相似系数法.距离法包括:海明距离、欧氏距离和切比雪夫距离等;相似系数法包括:夹角余弦法和相关系数法等.采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵，它的公式如下:

说明:xi表示第i个省市的特征向量(1≤i≤31)，d(xi，xj)表示特征向量xi，和xj的距离，c为适当选取的参数，d(xi，xj)定义为2个特征向量之间的距离定义为其各坐标数值差的最大值.

根据上面的相似计算方法，对31个省市的特征向量计算相似关系，得到相似矩阵:

定理1［8］设R∈M(n×n)是模糊相似矩阵，任意自然数k，Rk也是模糊相似矩阵，例:R2=R◦R(k=2).

定理2［8］设R∈M(n×n)是模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(k≤n)，使得传递闭包t(R)=Rk，对于任何自然数b≥k，都有Rb=Rk，此时，t(R)是模糊等价矩阵.

通过求传递闭包t(R)，可以将模糊相似矩阵改造成为模糊等价矩阵.

计算传递闭包t(R)过程:从相似矩阵R出发，经过过程R→R2→R4→R8，最多经过log2N+1(N为样本的数目31)后，必有R2k=(R2k)2，停止迭代，最终的R2k就是模糊等价矩阵.

算法参数c=1，求出的模糊等价矩阵.当λ=0.72时，得到的λ－截集的把各省市分为4类:

第一类:北京、上海

第二类:天津、浙江、广东、江苏

第三类:山东、河南、湖北、湖南、海南、重庆、云南、河北、山西、辽宁、安徽、福建、江西

第四类:内蒙古、吉林、黑龙江、广西、四川、贵州、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆

得到的λ－截集的分类结果如下，与文献［11］相比，结果相近.

3 结论和模型评价及改进

从聚了结果看，我国区域经济的发展不平衡，东部的经济水平较高，包括作为政治中心的北京和经济中心的上海，以及沿海沿江的天津、浙江、广东、江苏.而大部分的西部省市，经济发展水平较低，固定资产投入不足，第三产业总产值较低，居民消费水平较低.进年来，东西部的差距有进一步扩大的趋势.因此，调整国家经济产业结构，改善西部省份的投资环境，提高西部省市的教育水平，消除东西部人口的文化差异等是以后的工作重点.

本文针对省市分类，初始聚类数c不好确定的难点，使用了基于相似矩阵的模糊聚类法，该方法，操作简便，实用性强.基于相似矩阵的模糊聚类法也有它的缺点，即当聚类对象很多时，相似矩阵占用的存储空间很大，求解传递闭包的过程效率很低等.未来的工作方向:使用主成分分析方法或者粗糙集理论等对数据的指标个数进行约简，可以提供计算的效率.

［1］赏晋，杨有，李晓红.地区经济发展的聚类分析和实例判别［J］.西华师范大学学报:自然科学版，2006，27(3):260－263.

［2］Margaret H，Dunham.数据挖掘教程［M］.郭崇慧，田凤占，等，译.北京:清华大学出版社，2005.

［3］模糊逻辑与计算智能研究编委会.模糊逻辑与计算智能研究进展［C］//2005年中国模糊逻辑与计算智能联合学术会议论文集.北京:中国科学技术大学出版社，2005.

［4］王士同.神经模糊系统及其应用［M］.北京:北京航空航天大学出版，1998.

［5］高新波.模糊聚类分析及其应用［M］.西安:西安电子科技大学出版社，2004.

［6］李桂英，李吉桂.基于模糊聚类的Web日志挖掘［J］.计算机科学，2004，31(12):130－132.

［7］朱培栋，卢锡城，周兴铭.基于客户行为模式的Web文档预送［J］.软件学报，1999，10(11):1142－1147.

［8］易东.基因表达聚类结果的信息熵评价方法［J］.第三军医大学学报，2004(4):317－319.

［9］朱庆芳，吴寒光.社会指标体系［M］.北京:中国社会科学出版社，2001.

［10］中国统计年鉴编委会.中国统计年鉴2010［M］.北京:中国统计出版社，2010.

［11］杨桂元，黄己立.数学建模［M］.北京:中国科学技术大学出版社，2008.