基于映射函数收缩算法的图像去噪方法

吴 军，李会方，王正民

（1.西北工业大学 陕西 西安 710129；2.中国兵器工业第203研究所 陕西 西安 710065）

图像是人们获取信息的一种极为重要的信息源之一，在拍摄、采样、量化、保存以及传输图像的过程中，不可避兔地受到噪声干扰，导致转换后得到的数字图像质量下降，给图像处理和分析带来不必要影响，极大地妨碍了人们对图像内容的理解[1]。因此在对图像进行分析之前，必须进行去噪预处理，以改善图像质量并尽可能地保留图像信息特征。使得图像更加真实地再现目标场景。但是如何兼顾降低噪声和保留细节仍然是一个难题[2]。

图像噪声按其来源可分为加性噪声、乘性噪声、量化噪声、椒盐噪声等类型，实际图像数据中所含噪声是各种噪声的混合。长期以来，人们根据图像的特点以及噪声的统计特征和频谱分布的规律，提出了许多去噪方法。中值滤波、空域滤波器、维纳滤波以及变换域去噪等都是非常有效的去噪方法，它们对不同的噪声有不同的去噪能力。中值滤波能有效地抑制脉冲和椒盐噪声，但它对于图像中高斯噪声的去除效果不佳。空域滤波器作为一种传统方法具有适应范围广、速度快、运算代价低等特点，但模糊了图像边缘和纹理等细节信息。维纳滤波对高斯噪声和乘性噪声都有较好的抑制作用，但缺点是仍然是容易失去图像的边缘信息[3]。小波去噪是变换域去噪的典型方法，其基本方法是对含噪图像进行多尺度小波变换，通过选择合理阈值，在各尺度下尽可能提取有用图像的小波系数，去除属于噪声的小波系数，再用小波逆变换重构图像。但硬阈值滤波容易在图像的边缘处产生突变，而软阈值收缩函数有时会使图像过于平滑的问题[4-6]。

近年来，稀疏表示己成为一个新的研究热点。它在与信号结构匹配方面具有很好的灵活性，并具有超分辨、去除噪声和表达信号灵活等优点，在谱估计、信号分析、目标特征提取、图像压缩等方面得到了广泛的应用[7]。本文结合小波变换和稀疏表示方法，提出一种基于图像稀疏性与冗余表达模型的映射函数收缩去噪方法。将图像有用信息部分作为图像中稀疏成分，而将图像中的噪声作为图像（去除其中稀疏成分后得到）残差，以此作为图像去噪处理的基础。相对于传统的去噪算法，去除噪声效果更为理想。

1 映射函数收缩算法

噪声图像的形成模型可表示为：

其中x为原图像，n为噪声模型，y为带噪声图像。对式（1）两边进行小波变换：

式中Cy、Cx、Cn分别表示观测图像y原始图像x和噪声n的小波变换，则

由式（3）可以看出，如果知道噪声小波变换Cn，那么就可以很轻松得由Cy得到Cx，并求得原始信号x。但是很明显，对于去噪Cn的求解是个很复杂的问题。

为了简化模型，将观测信号与原始信号之间的变换过程用一个映射函数（Map Functions）M{·}来描述[8-9]：

式（4）表示观测信号通过某种变换M{·}，得到了不含噪声的原始信号。

1.1 问题规划

由前面的分析可知，图像的去噪过程可用一个映射函数描述，为了简化对这个映射函数的学习过程，可以将这个映射函数分解为一组多尺度的映射函数 （MFs：Map Functions）{Mk，k=1， …，K}，Mk为小波子带系数，K 是小波分解的子带数。对于信号y，其小波变换为：

式中，W=[B1，…，BK]T为小波变换函数，Bk（k=1，…，K）为小波子带变换。 其 α=[α1，…，αK]为小波变换系数，αk（k=1，…，K）为其对应Bk的小波变换系数。由式（5）可得，映射函数为：

简而言之，这个映射变换M{·}被划分成了K个映射函数，K由小波变换的子带个数来决定。

由此可见，图像去噪问题久转换为一个寻找变换M{·}过程，将这个变换作用于观测图像，可以使观测图像尽可能的逼近于不含噪声的原始图像，也就是完成了去噪的过程。其数学模型可以表示为：

由式（8）将图像去噪问题转换成了求最优值的问题。

1.2 算法求解

对于（8）提出的最优化问题，可以使用切片变换（Slice Transform，SLT）来解决这个问题。切片变换可将一个非线性的问题转化为一个分段线性问题。通过SLT可将（8）式变换为：

问题转换成了经典的最小方差问题，其解为：

整个算法流程如下：

1）对观测图像进行小波变换，获得K个小波子带系数：α1，…，αK；

2）用 Lloyd-Max 算法，确定 M+1 维向量 qk；k=1，…，K

3）对于每个子带：

①计算 SLT 矩阵 Ck=Sqk（αk），Ck∈RNk×（M+1），Nk=length（αk）；

②将每个 Ck拉直为 Ck（：，m），m=1，…，M+1。 求其逆：

4）将 zk，m按列排列，组合成 n×K（M+1）维矩阵 L；

5）通过式（9）求出 p*。 这是一个 K（M+1）维的向量，将其划分为 K 个向量，p*1，…，p*K，每个子向量为（M+1）维。

这样就完成了对映射函数的学习问题。

1.3 图像去噪

不同于小波收缩算法，MFs算法更偏向于稀疏表示的去噪算法，主要工作在于学习字典。MFs算法则是学习一个变换函数，变换函数学习出来去噪过程就变得很简单了。具体去噪步骤如下：

1）对于训练样本，使用1.2中算法，求得变换函数M；

2）由式（5）可知，求解 WT[M（Wy）]即为去噪后图像，其中W为小波变换，y为测试样本。

2 实 验

本文分3个实验分别验证MFs算法的可行性，与其他算法对比的优越性和自身算法的鲁棒性。实验训练样本均为加入噪声强度λ=20的高斯噪声的Lena512×512灰度图像。

2.1 验证可行性

使用测试样本为Lena256×256的灰度图像，加入噪声强度λ=20的高斯噪声。实验结果如图1所示。

容易看出，经过MFs算法去噪后，图像的轮廓和较明显的细节都被保留下来，直观上有效地去除了图像噪声。

2.2 对比经典小波去噪，经典稀疏表示去噪和MFs去噪算法

为了进一步说明本文所提出算法的有效性，采用峰值信噪比（peak signal noise ratio，PSNR）和均方误差（mean square error，MSE）作为评价指标。设输入测试图像为Lena灰度图像，大小为512×512像素，人为加入λ=20的高斯噪声，小波去噪采用文献[9]中方法，SRC方法采用文献[10]中方法，对比几种方法所得输出信号均方误差和峰值信噪比如表1所示。

图1 加噪图像和去噪后图像对比Fig.1 Noisy image compared with denoised image

表1 3种方法的去噪结果对比Tab.1 Three methods of denoising results contrast

其中IMPROVE表示去噪后图像性噪比的提高。由表1可以看出，本文算法与前面两种算法相比较，均方误差（MSE）较小，峰值性噪比（PSNR）最大，且性噪比提高最多。说明本文算法具有较优越的去噪性能。

2.3 当改变噪声强度时，本文算法的鲁棒性测试

为了验证算法在不同噪声强度下的鲁棒性，分别对测试图像加入λ=10、λ=20、λ=30的高斯噪声，实验结果如表2所示。

表2 不同噪声强度下的去噪结果对比Tab.2 Denoising results compared under different noise intensity

表2显示，随着所加入噪声强度的增加，去噪后图像的峰值性噪比（PSNR）有所下降，但是下降趋势较缓，当加入噪声强度λ=30的高斯噪声时，峰值性噪比仍与表1中用SRC方法对噪声强度λ=20的图像进行去噪后的结果相当，可见本文算法具有一定的鲁棒性。

3 结束语

可以看出，本文算法是一种鲁棒性较强的图像去噪方法，且对于同种噪声，去噪效果好于小波方法和SRC方法，最大的优点在于映射函数的提出，摆脱的求解最大后验概率的困境，只需要对学习样本进行学习就可以应用到测试样本之中，但是当测试样本的复杂性高于学习样本时，本文算法的效果往往较差，所以学习样本的选择问题依然是一个值得探讨的问题。

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