两个变系数非线性Schrödinger 的精确解

黄彦辉，张金良，魏鹏波

(河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471023)

0 引言

变系数非线性Schrödinger 方程

当考虑到色散系数、非线性参数和增益系数为z 函数时，方程(1)是光通讯中非常重要的模型。文献［1］利用变系数F-展开法导出了方程(1)的Jacobi 椭圆函数解;文献［2］从可积的观点，基于Lax 对得到了Darboux 变换，借助于该变换，导出了方程(1)的精确多孤子解，并由此得到了显式单孤子解和二孤子解。文献［3］先预设解形式，直接代入方程(1)，得到方程的显式精确解;文献［4］利用变分法，得到了方程(1)的显式解析近似解;借助于Lie 群约化方法，文献［5］导出了方程(1)的精确解。

本文考虑的另一个变系数非线性Schrödinger 方程为:

其中，φ(z，t)为电场的复包络;α1(z)、α2(z)、α3(z)、α4(z)和α5(z)分别为二阶色散、非线性Kerr 效应引起的自相位调制、自陡崤和自频移参数;Γ(z)为增益参数。由于有着广泛的应用，方程(2)已引起众多学者的关注。文献［6 -10］研究了方程(2)，得到了显式亮孤子解、暗孤子解。文献［11］利用扩展的tanh-展开法，在参数满足一定的条件下得到了拟亮孤子解、暗孤子解。文献［12］借助于辅助椭圆型方程，导出了方程(1)和方程(2)的精确解。

本文利用齐次平衡原则［13-16］及二阶线性辅助常微分方程，求出辅助椭圆型方程的精确解，借助于辅助椭圆型方程，导出了两个变系数非线性Schrödinger 方程(1)和方程(2)的精确解。

1 辅助椭圆型方程的精确解

考虑

依据齐次平衡原则，设辅助椭圆型方程(3)的精确解形如下:

其中，d－1和d1为待定常数;G = G(ξ)满足二阶辅助常微分方程:

其中，μ 为待定常数。

将式(4)代入式(3)并利用式(5)，得方程(3)的精确解如下。

情形1 A ＞0，B ＜0。

情形2 A ＜0，B ＜0。

情形3 A = 0，B ＜0。

2 方程(1)和方程(2)的精确解

由文献［12］知，方程(1)的精确解表示为:

方程(1)中的系数α(z)、β(z)和γ(z)满足

其中，D0、D1、A 和B 为常数;φ(ξ)满足辅助方程(3)。

借助于辅助方程(3)的解，可得方程(1)的精确解，表示为:

情形1 A ＞0，B ＜0。

情形2 A ＜0，B ＜0。

情形3 A = 0，B ＜0。

由文献［12］知，方程(2)的精确解可分为两种情况:(Ⅰ)α1(z)+ 3κα3(z)≠0;(Ⅱ)α1(z)+3κα3(z)= 0。

对于以上两种情况，方程(2)的精确解可借助于辅助方程(3)的解导出，为了简洁起见，本文不再一一列出。

3 结论与分析

本文用二阶线性常微分方程导出了辅助椭圆型方程的精确解，然后，借助于该辅助椭圆型方程推导出了两个变系数NLS 类方程的解以及相应的约束条件，和文献［3，10］中的算法相比，本文的计算方法更简洁、直接。

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