分形市场理论下中国股市VaR研究

赵健

（黄淮学院经济管理系，河南驻马店 463000）

分形市场理论下中国股市VaR研究

赵健

（黄淮学院经济管理系，河南驻马店 463000）

VaR是加强金融市场风险预警管理的有效工具。选取2010年1月1日至2012年5月11日的上证综合指数和深证成指的日收盘价，对正态分布与分形分布假设下的VaR值进行比较分析，结果显示：不同时点的波动性变化较大，对风险的估计必须保持实时性；相对正态分布，分形分布能更好刻画中国股市尖峰厚尾特征，能更准确度量风险。

VaR；分形分布；正态分布

一、引言

随着经济全球化的深入和金融市场的迅速发展，金融产品价格波动日益趋向频繁与无序，金融市场的风险与日俱增。2007年的全球金融危机再一次敲响了警钟，为此，加强金融市场风险预警管理，已是我国金融监管部门和各金融机构的当务之急。

VaR（风险价值）能够测量不同交易、不同业务部门市场风险，并将这些风险集成一个数的风险测量方法，可以用来作为金融监管部门和金融机构评估市场风险的一种手段，目前已被全球各国金融机构与非银行类金融机构所采用。对VaR方法进行比较研究，探求与中国金融市场相适应的风险度量方法，较为准确的度量风险，对促进中国金融市场健康发展具有重要意义。

二、文献综述

关于VaR国外学者取得了一系列成果。Hendrics[1]（1996）分别采用历史模拟法、参数法以及蒙特卡罗模拟法对VaR进行了理论和实证研究。Philippe Jorion[2]（1997）详细给出了VaR的概念及相关的计量模型。Goorbergh and Vlaar[3]（1999）分别采用静态模型、GARCH模型、历史模拟法与极值方法，以荷兰AEX股价指数与道琼斯工业指数为样本进行实证研究，结果表明从精确度看GARCH模型所度量的VaR是最优的。大量研究显示，计量VaR时，一般所假设的正态假设是不合适的，特别是捕捉金融市场极端值时，为更好描述金融市场资产收益率，一些学者提出了t分布、GED和GARCH模型等。

鉴于VaR的重要意义，上世纪90年代国内学者开始关注VaR。刘宇飞[4](p39-50)（1999）介绍了VaR模型的基本内涵及其在金融监管中的作用，指出VaR对金融监管转变方式具有重要的影响。杜海涛[5](p57-61)（2000）以沪深两市为研究对象，选择其2000年5支基金19个交易周的单位净资产市值为样本，实证研究显示VaR模型对证券市场的风险管理有很好的效果。彭寿康[6](p58-61)（2003）充分考虑了中国股指收益率的尾部特征，探讨了加权正态模型和Logistic模型下的VaR，结果显示对所选样本而言，Logistic分布模型在估计VaR预测时表现比较好。刘用明，贺薇[7](p137-141)（2011）通过与一元GARCH模型、多元GARCH下的BEKK及DCC模型相比较，发现联动VaR预测结果是最优的，残差正态分布下的GARCH模型能更好反映汇率的变动，提高汇率风险管理的水平。孙春华（2012）基于正态扩展分布从实证分析的角度考察我国股市VaR的测度与有效性问题。

分布假设是金融市场风险分析的重要前提条件之一，上述文献在计算收益率VaR时大部分都是基于有效假说的前提下，假设残差服从正态分布的假设，这与实际不甚吻合，因为大量实证研究表明金融数据尖峰厚尾的特征。作为一种简单的均衡范式，有效市场假说（EMH）一直主宰着金融理论研究。由于分形分布能够很好地刻画金融数据的实际特征，分型理论开创了金融市场研究的新局面。本文引入分形分布对VaR进行分析，并与正态分布假设下的VaR进行比较，以期更好地刻画中国股市特征。

三、模型介绍

根据Jorion的定义，VaR是估计资产的预期价值或正常情况下的价值与在一定置信度下的最小价值之差，也就是可能的最大的预期损失，即相对VaR。

（一）VaR一般概念。

假设初始投资额P0，持有期末投资资产的价值P，持有期的收益率为R，且收益率的期望值为μ，因此P=P0（1+R），在给定置信水平c下期末资产的最小价值为P*=P0（1+R*），因此根据定义，VaR可表示为：

由以上定义可以看出，计算VaR最主要的计算组合最低收益率R*。假定投资组合未来收益率的概率密度为f（P），则对于某一置信水平c下投资组合的最小值，有

VaR在本质上是统计投资组合价值的波动，所以关键在于构造投资组合价值变化的概率分布。根据VaR的定义，VaR分析依赖于收益率特别是极端收益率的分布，而极端收益率的特性与整个过程的收益率特性是不同的。因此，如何准确描述收益率的尾部特性，成为计算VaR方法好坏的关键。

（二）正态分布下VaR的计算。

（三）分形分布下VaR的计算。

与有效市场假设不同，分形市场假说认为，信息依投资者的投资起点而被评价，不同投资起点对信息的评估是不同的，从而导致信息的传播呈现出参差不齐的特性，所以，价格不能每次都反映所有信息，而只反映部分重要的信息。

分形分布一般没有概率密度函数的形式，由特征函数来描述，含有四个参数，用S（α，β，γ，δ）表示。其中，δ是均值的位置参数，γ是尺度调整参数。β是偏斜度参数，β∈[-1，1]。当β=0时，分布是对称的；当β＞0时分布是右厚尾；当β＜0时，情形相反。α是稳定性指数或特征指数，决定了分布的峰度及尾部的厚度，α∈（0，2]。当α=2时，分形分布退化为正态分布；α越小，分布的尾部越厚。

设收益率服从分形分布，即R~S（α，β，γ，δ）。按照正态分布下计算VaR的思想，可得到VaR在分形分布下的计算式：

四、实证分析

表3 上证综合指数每日的VaR

（一）数据选取及处理。

本文选择上证综合指数和深证成指每日收盘价作为研究对象，上证综合指数和深证成指具有一定的代表性。样本期间为2010年1月1日至2012年5月11日，扣除非交易日，共569个交易日的数据。数据来源于巨灵金融服务平台。

上证综合指数的收益率为Rt-1=ln（Pt/Pt-1），其中Pt为上证综合指数在t日的收盘价，由此可得568个日收益率数据。同理，可得568个深证成指的日收益率数据。

（二）收益率序列的描述性统计。

表1 收益率序列的描述性统计

从表1可知，上海综合指数收益率偏度等于-0.398366，小于0，表明收益率分布是左拖尾的；峰度等于4.424895，大于3，表明收益率分布比正态分布更集中，分布呈尖峰状态，说明上证综合指数呈现尖峰厚尾性。JB统计量也说明了这一点，在任意显著水平下均显著，说明了收益序列的非正态性。同理，深证成指收益率也呈尖峰厚尾性。上海综合指数与深证成指的收益率比较来看，深证成指收益率的均值和标准差比上海综合指数大，表明虽然平均收益率均为负，但深证成指的平均收益率比上海综合指数的收益率表现略好一些，但是波动性也更大一些；偏度和峰度相差不大。

（三）正态分布和分形分布VaR比较。

对收益率数据进行分形分析，使用John P.Nolan教授开发的stable.exe程序，采用极大似然函数估计法，对日收益率数据进行拟合，得到各参数的估计值，如表2所示：

表2 收益率的分形分布拟合

从表2可得，两个指数的α∈（0，2），β＜0，上证综合指数和深证成指收益率均呈现非对称的左偏尖峰分布，具有典型的左厚尾特征，这也和表1所得出的结论一致，表明分形分布能够很好地刻画收益率的尖峰厚尾特征。另外，从α的数值可知，收益率序列并不是随机游走序列，具有长期记忆性，上海综指的收益率比深证成指收益率的尾部更厚一些。

然后，分别计算95%、97%、99%置信水平下，正态分布和分形分布假设下上证综合指数每日的VaR，每日的VaR分别根据式（6）和式（10），由前一日的上证综合指数、参数及分位数得出，结果如表3所示：

在任一置信水平下，上海综合指数收益率正态分布的风险值（均值，最大值，最小值）小于分形分布的风险值，表明分形分布相比正态分布而言，对风险值的估计更保守一些。在正态分布下，上证综合指数在所选数据区间内，95%置信水平下的VaR的平均值为56.88931，97%置信水平下VaR的平均值为65.05019，99%置信水平下的VaR的平均值为80.45951，表明在正态分布下，可以以95%的概率保证上证综合指数在这一期间平均每日最大损失不会超过56.88931，以97%的概率保证平均每日最大损失不会超过65.05019，以99%的概率保证平均每日最大损失不会超过80.45951；同理，在分形分布下，可以以95%的概率保证上证综合指数在这一期间平均每日最大损失不会超过78.87955，以97%的概率保证平均每日最大损失不会超过94.02778，以99%的概率保证平均每日最大损失不会超过134.1647。

在任一置信水平下，正态分布的失败天数均大于分形分布：在95%的置信水平下，正态分布失败天数为27天，大于分形分布的12天；在97%的置信水平下，正态分布失败天数为21天，大于分形分布的7天；同样，99%的置信水平下，正态分布失败天数为10天，大于分形分布的2天。另外，正态分布更倾向于低估风险，分形分布比正态分布更准确地度量了风险，从而分形分布相对于正态分布，更适用于度量风险价值。

同理，计算95%、97%、99%置信水平下，正态分布和分形分布假设下深证成指每日的VaR，结果如表4所示：

同理，在任一置信水平下，深证成指收益率正态分布的风险值（均值，最大值，最小值）小于分形分布的风险值，表明分形分布相比正态分布而言，对风险值的估计更保守一些。在任意置信水平下，深证成指收益率正态分布下失败天数比分形分布更多。另外，正态分布更倾向于低估风险，分形分布比正态分布更准确地度量了风险，再一次说明了分形分布相对于正态分布，更适用于度量风险价值。

从表3与表4可以看出，无论是正态分布还是分形分布，置信水平越高，风险值（均值，最大值，最小值）越大，表明投资者对待风险的不同态度：对于谨慎的投资者，对风险的预期比较大，在量化风险时，需要较高的置信水平；对于偏冒险的投资者，对风险的承受能力较大，在量化风险时设置较低的置信水平，相应的风险值比较低，期望获得更高的利润。另外，在考虑的数据区间内，在任一置信水平下，每日风险值的最大值和最小值差别非常大，最大值几乎是最小值的两倍，说明不同时点的波动性变化较大，所以对风险的估计必须保持实时性。

五、结论及启示

VaR模型是国际上广泛使用的度量金融风险的分析工具，在我国金融市场快速发展的形式下，引入VaR方法度量金融风险具有重要意义。关于如何更准确地刻画VaR，已成为一个不容忽视的问题。

表4 深证成指每日的VaR

以上证综合指数和深证成指为例，对正态分布与分形分布的VaR值进行比较分析，得出如下结论：（一）上证综合指数和深证成指的收益率序列不是正态分布，具有尖峰厚尾性，分形分布相对正态分布来说，能够更好地刻画这种尖峰厚尾性。深证成指的平均收益率比上证综指表现略好，但波动性也更大；（二）不同时点的波动性变化较大，所以对风险的估计必须保持实时性；（三）分形分布相比正态分布而言，对风险值的估计更保守一些；（四）正态分布更倾向于低估风险，分形分布比正态分布更准确地度量了风险，结果更稳健，从而分形分布相对于正态分布，更适用于度量风险。

另外，对投资者来说有一定的启示，由于不同的置信水平对应于不同的VaR值，投资者应根据自己对风险的不同偏好来决定投资的策略和投资的市场，调整相应的获利期望。对于风险厌恶的投资者来说，要尽量选择较高的置信水平来降低风险，对于风险喜好的投资者来说，可以设置较低的置信水平以利于作出积极的投资策略。同时，对于风险度量，要不断引进新的技术进行探索，以期更好地符合现实世界。

[1]Darryll.Hendrics.Evaluation of Value-at-Risk modelsusing Historical Data[J].Economic policy review.1996,(2).

[2]Philippe Jorion.Value at Risk[M].The Mc Graw-Hill Companies,Inc,1997.

[3]Goorbergh,R.V.D,P.Vlaar.Value at Risk Analysis of StockReturns Historical Simulation,Variance Techniques or Tail Index Estimation[J].Research Memorandum WO&E,1999, （3）.

[4]刘宇飞．VaR及其在金融管理中的应用[J].经济科学，1999，（1）.

[5]杜海涛．VaR模型在证券风险管理中的应用[J]．证券市场导报，2000，（8）．

[6]彭寿康．中国证券市场股价指数VaR研究[J]．统计研究，2003，（6）．

[7]刘用明，贺薇．基于面板GARCH模型的汇率风险联动VaR测算[J]．经济经纬，2011，（3）．

[8]孙春华．基于正态扩展分布的我国股市VaR估测研究[J].经济论坛，2012，（3）.

责任编辑 郁之行

F830.91

A

1003-8477（2013）11-0083-03

赵健（1977—），女，经济学博士，黄淮学院经济管理系副教授。

2013年河南省软科学项目“河南省产业集聚区建设中的金融支持问题研究”（132400410706）阶段性成果，2011年度河南省高等学校青年骨干教师（179）及2012年度黄淮学院青年骨干教师计划项目资助。