对素数分布趋势的创新发现

摘 要：传统的观念认为素数在整个自然数域的分布趋势为：“在自然数数列不断增大中，素数在其分布将越来越稀疏。”然而，在对素数分布趋势的教学研究中发现：将自然数列中的素数按照某一规律重新排队，得到的素数数列却是一个“无穷递增数列”，它丝毫不受“越来越稀疏”的影响。当自然数n趋向于无穷大时，自然数增大2倍，素数也同时增大2倍。将素数数列无穷递增的现象总结为“李君池素数定理”。“李君池素数定理”的“递增”思想彻底改变了“稀疏”这一传统观念的看法。

关键词：素数分布；素数数列；无穷递增；“李君池素数定理”

一、对传统素数分布趋势的思考

在进行素数的教学中，有一个绕不开的话题，就是：素数在自然数中的分布问题。素数在自然数中的分布情况究竟怎样，虽然相对于中学生来说，难度是大了一些。但是，我们一不能遇到难题就绕路而走；二也不能由此而向学生传授错误的内容；三更不能因为是难题而封闭了学生积极开放的思维、思路。我们提倡的方法是：将难题提出来，和学生们共同探讨，有时不一定会有结果，但有时就会有新的发现，甚至有时会有意想不到的收获。本文的内容就是在辅导学生的过程中所得到的结论和结果。这个结论打破了人们传统的思维定势，把人们的思维引向了一个全新的天

地，它对于学生以及数学爱好者在今后的数学学习中、在解某些数论难题中都会有着极大的帮助。

几个世纪以来，人们在翻看“素数表”时，从素数表中看到的是这样一些数据：在1到100中间有25个素数，在1到1000中间有168个素数，在1000到2000中间有135个素数，在2000到3000中间有127个素数，在3000到4000中间有120个素数，在4000到5000中间有119个素数，在5000到10000中间有560个素数……

于是，人们得出的结论是：素数在整个自然数域的分布趋势为：“在自然数数列不断增大中，素数在其分布将越来越稀疏，甚至会出现两相邻素数相隔数十、数百、数千、数万、数亿…个合数数位的各种情况，即存在两相邻素数相隔任意大的各种情况。”长期以来，这种“素数分布越往上越稀少”的观念禁闭了人们的头脑，使得人们在数论研究方面多年来没有大的突破，同时，也由于素数分布“越来越稀”的“现象”，成了“哥猜、孪猜”等素论问题破解道路上的拦路虎，使得“哥猜、孪猜”这一类的素论问题至今没能彻底解决。因此，这一传统的思维必须来个彻底地更新。

素数分布真的是越往上越稀少吗？对于同样是“素数在整个自然数域的分布趋势”问题，如果我们换一种思路来考虑问题，将会得出完全相反的结论。例如，我们将所有的素数集合按照某种规律重新排队，那种“素数分布越来越稀疏”的思维、观念或许就会发生根本性的变化。

二、建一个无穷递增的素数数列

如何建立一个“无穷递增的素数数列”？不同的人有不同的方法，但如何证明自己建立的“数列”，却令人望而却步，例如：对上一节中建立的“无穷递增的素数数列”，就让人无从下手。为了使自己建立的“数列”能够得以证明，在建立之初就必须考虑好要有可以证明的方法。

本文所建立的“无穷递增素数数列”，首先要借用的工具还是“自然数圆形排列图”，因为创建这个“数列”的灵感同样是由“自然数圆形排列图”得到的，是建立在“自然数圆形排列图”的基础之上的。（关于“自然数圆形排列图”内容参见《世界上第一个求素数公式》一文）

我们把“自然数圆形排列图”前几圈中的素数找出来，排成一个数列：在这个排列图的第一圈中有2个素数，第二圈中有2个，第三圈中有4个，第四圈中有6个，第五圈中有9个，第六圈中有19个，第七圈中有33个，第八圈中有59个，第九圈中有107个，第十圈中有197个，第十一圈中有362个，第十二圈中有669个素数，第十三圈中有1256个，第十四圈中有2326个，第十五圈中有4388个，第十六圈中有8265个，第十七圈中有15631个，第十八圈中有29611个，第十九圈中有56322个，第二十圈中有107281个，第二十一圈中有204953个，第二十二圈中有392247个，第二十三圈中有751912个…。当然，如果我们继续努力，还可以继续统计下去。我们先将统计的结果总结如下：

名词“李君池素数数列”。（自我命名）

为了不失一般性，我们可以将“定理1”整理如下：

定理2：“李君池素数定理”。（自我命名）

设n为大于2的自然数，用？准（n→2n）表示n→2n之间的所有素数的个数；用？准（2n→4n）表示2n→4n之间的所有素数的个数；当n趋向于无穷大时，有■■=2，即当n趋向于无穷大时，自然数的个数扩大2倍，其中素数的个数也一定扩大2倍。

这一定理，我们称之为“李君池素数定理（即素数的倍比关系定理）”。

这一定理是由定理1推广得到的。在由“自然数圈”建立的“无穷递增素数数列”中，当圈数f趋向于无穷大时，后一圈中素数的个数与前一圈中素数个数的比值等于2。同样道理，设n是任意自然数，当n趋向于无穷大时，2n中素数的个数与n中素数个数之比，其比值也一定等于2。

“李君池素数定理”定理告诉我们：自然数中的素数不仅是无穷的，而且还按照一定的规律无穷递增的。这个定理的产生，是对传统“稀疏”观念的一次革命性的转变，它对于解决许多较为难以解决的数论难题将有着极大的帮助。

四、对传统观念的剖析

我们的分析还是要从“自然数圈”说起。在自然数圈中，前十四圈中是不存在“两相邻素数相隔数十个合数数位的情况”的，而能够出现这种情况的，一定要比第十四圈要大得多；前二十圈中是不存在“两相邻素数相隔数百个合数数位的情况”的，能够出现这种情况的，也一定要比第二十圈要大得多；出现“两相邻素数相隔数千、数万、数亿……个合数数位”的情况，一定是在非常大非常大的素数圈中。前面我们已经知道，第十四圈中有2326个素数，如果是在第十四圈中出现了“两相邻素数相隔数十个合数数位的情况”，也一定是隐藏在这2326个素数之中，丝毫不会减少素数个数的出现；如果是出现在第十五圈、第十六圈……第一百圈中，同样丝毫不会减少本圈中素数个数的出现。

“李君池素数定理”定理告诉我们：自然数中的素数不仅是无穷的，而且还按照一定的规律无穷递增的。所以，“两相邻素数相隔数十个合数数位的情况”，无论是出现在哪一个自然数圈中，都丝毫不会减少这一圈中素数的个数。同样的道理，“两相邻素数相隔任意大的各种情况”都是隐藏在各个不同的自然数圈中，即使出现了在一个自然数圈中“两相邻素数相隔一百个、一千个、一万个、一亿个……”这种情况，它也丝毫也不会减少这一圈中素数的个数，因为自然数圈中素数的个数是“无穷递增”的。有人会说，如果上述情况出现在两个自然数圈中，也就是横跨两个自然数圈呢？那它就更不会对自然数圈中素数的个数产生影响了，因为每一个自然数圈都是独立的，都是单独统计的，无论落在哪两圈中都丝毫不会减少这两圈中素数的个数。现在，我们还会担心“存在两相邻素数相隔任意大的各种情况”这句话吗？从数值上来说，无论“间隔”是何种情况，都一定会出现在自然数圈之中，都不会减少这一自然数圈中素数的个数。任一自然数圈中素数的个数是恒定的、是按照递增的方向发展的！

“李君池素数定理”的实质是要告诉我们，只有换一种思路看问题才能不被迷雾遮住了双眼。当我们用“倍比关系”来看问题时，就会得出与传统观念完全相反的结论：不管素数的分布越往上越是怎样的稀少，也不管两素数之间的间隔有多大，只要是自然数在某一基础上扩大2倍，其中素数的个数将会逐步扩大到1.7几倍、1.8几倍、1.9几倍，当n趋向于无穷大时，素数的个数也就扩大到了2倍。这种关系，我们称之为“李君池素数定理（素数的倍比关系定理）”。正是由于“素数的倍比关系”的存在，我们才能理直气壮地指出“素数的分布越往上越稀少”这种看法犯了以偏概全的错误。

（作者单位 安徽省地质矿产局327地质队）