均布载荷作用下矩形截面梁的弹塑性弯曲

吴 晓, 黄志刚, 唐响亮



均布载荷作用下矩形截面梁的弹塑性弯曲

吴 晓*, 黄志刚, 唐响亮

(湖南文理学院 土木建筑工程学院, 湖南 常德, 415000)

采用弹塑性理论研究了均布载荷作用下的矩形截面梁弹塑性弯曲问题, 推导出了矩形截面悬臂梁的弹塑性弯曲挠度表达式, 并重新推导出了矩形截面简支梁的弹塑性弯曲挠度表达式, 更正了有关文献在研究均布载荷作用下矩形截面简支梁弹塑性弯曲时存在的错误.

矩形截面; 梁; 弹塑性; 弯曲; 挠度

塑性力学中比较简单的问题, 包括用平衡方程、屈服条件和应力边界条件就能完全确定应力场的所谓静定问题, 以及屈服条件为线性的情况, 求解时并不需要处理整套的基本方程因为其中许多方程已自动满足, 即使是需要处理的方程也可用较简单的数学方法求解. 属于这类问题的有纯拉伸、纯扭转、平面弯曲、厚壁圆筒等. 文献[1]研究了均布载荷作用下矩形截面简支梁的弹塑性弯曲问题, 文献[2—8]研究了集中载荷作用下矩形截面悬臂梁的弹塑性弯曲问题. 本文研究了均布载荷作用下矩形截面悬臂梁的弹塑性问题, 并重新推导出了均布载荷作用下矩形截面简支梁的弹塑性弯曲挠度, 更正了文献[1]存在的错误.

设矩形截面梁材料为弹性完全塑性的, 且梁宽为、高为2, 无论梁处于弹性阶段或是弹塑性阶段, 都假定截面保持为平面. 并假设弯矩> 0时曲率= 1/与同号, 反之亦然.

由弹塑性理论可知图1所示矩形截面梁的本构关系为:

式中,s为梁的屈服极限.

利用式(1)可知矩形截面梁发生弹塑性弯曲时, 其截面弯矩和曲率分别为:

把式(3)代入式(2)中可以得到:

图1 梁的矩形截面

所以从以上各式可以得到:

由式(5)可知矩形截面梁弹塑性弯曲的曲率表达式为:

式中:与同号时, sign= 1,与异号时sign=-1.

图2 均布载荷作用下悬臂梁

由式(7)、式(8)可以求得悬臂梁在弹塑性区域及弹性区域的挠曲线方程为:

悬臂梁的边界条件及连续条件为:

由式(9)—(11)可以求得1、2的表达式为:

图3 均布载荷作用下简支梁

所以, 图3所示简支梁在弹塑性区域及弹性区域的挠曲线微分方程为:

由式(15)、式(16)可以求得简支梁在弹塑性区域及弹性区域的挠曲线方程分别为(具体推导见附录A):

.(17)

简支梁的边界条件及连续条件为:

由式(17)—(19)可以求得:

由以上推导及附录A可知文献[1]研究均布载荷作用下矩形截面简支梁的弹塑性弯曲问题时, 推导出的简支梁在弹塑性区域及弹性区域的挠曲线方程是错误的, 本文更正了文献[1]存在的错误.

附录A:

[1] 庄懋年, 马晓士, 蒋潞. 工程塑性力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983: 88—94.

[2] 余同希, 斯壮. 塑性结构的动力学模型[M]. 北京: 北京大学出版社, 2002: 12—32.

[3] 韩强. 弹塑性系统的动力学屈曲和分叉[M]. 北京: 科学出版社, 2000: 70—76.

[4] 杜庆华, 熊祝华, 陶学文. 应用固体力学基础(上册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987: 423—429.

[5] Warnock F V,Benham P P.固体力学和材料强度[M]. 江秉琛, 文相臣, 张汝清, 等, 译. 北京: 人民教育出版社, 1982: 450—467.

[6] Timoshenko S P, Gere J M. 材料力学[M]. 韩耀新, 译. 北京: 科学出版社, 1990: 298—322.

[7] 王仁, 黄文彬, 黄筑平. 塑性力学引论[M]. 北京: 北京大学出版社, 1989: 38—48.

[8] 王仁, 熊祝华, 黄文彬. 塑性力学基础[M]. 北京: 科学出版社, 1987: 46—55.

Elastic-plastic bending of the rectangular beam under uniformed load

WU Xiao, HUANG Zhi-gang, TANG Xiang-liang

(College of Architecture & Civil Engineering, Hunan University of Arts & Science, Changde 415000, China)

Based on elastic-plastic theory, elastic-plastic bending of the rectangular beam underuniformed load is researched and the deflection expression of elastic-plastic bending of rectangular cantilever beam is deduced. Then, the deflection expression of elastic-plastic bending of the simply supported beam of rectangular cross-section is reformulated and the error which exists in the relational paper in this field has been corrected.

rectangular section; beam; elastic-plastic; bending; deflection

O 344

1672-6146(2013)01-0014-04

email: wx2005220@163.com.

2013-03-06

10.3969/j.issn.1672-6146.2013.01.004

(责任编校: 江 河)