如何确定实际问题中的最值

叶锦森

所谓最值问题，就是求最大值或最小值问题.最值问题是现实生活中一种比较常见的数学问题，在中考中也时常出现.下面仅以实际问题中的最值为例，说明此类问题的解法.

一、根据不等式（组）的解集确定

例1我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错（或不答）一题记-5分.小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对__道题.

分析：本题实际是求最小值，可先列不等式求出不等式的解集，然后再确定最小值.

解：设小明答对x道题，则答错（20-x）道题，依题意得10x-5（20-x）>100.解得x>131

3

所以小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对14道题.

说明：本例的结果实际是求不等式的最小整数解.

例2某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒.

（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）

（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

分析：（1）根据“如果给每个老人分5盒，则剩下38盒”可表示出这批牛奶盒的数量；（2）实际是确定最小值和最大值.根据“如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒”可先列不等式组，求出不等式组的解，然后再确定最值.

解：（1）牛奶数量为（5x+38）盒；

（2）依题意得1≤（5x+38）-6（x-1）<5.

解得39

所以该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人.

说明：（2）中的不等式组也可列成0<（5x+38）-6（x-1）<5或0<（5x+38）-6 （x-1）≤4或1≤（5x+38）-6（x-1）≤4，都可以求得正确结果.

二、根据计算结果确定

例3某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.

（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；

（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？

分析：（1）设组建中型图书角x个，然后列不等式组求出x的取值范围，进而确定组建方案；（2）实际是确定最小值，可先计算出每种组建方案的成本，然后通过比较求出最小值.

解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个.

依题意得80x-30（30-x）≤1900

50x+60（30+x）≤1620

解得18≤x≤20.

∵x为整数，∴x =18，19，20，对应的30 -x =

12，11，10.

所以共有三种组建方案：

①中型图书角18个，小型图书角12个；

②中型图书角19个，小型图书角11个；

③中型图书角20个，小型图书角10个.

（2）方案①的费用是：860×18+570×12=22320（元）；

方案②的费用是：860×19+570×11=22610（元）；

方案③的费用是：860×20+570×10=22900（元）.

所以方案①费用最低，最低费用是22320元.

反思：注意到组建一个小型图书角的费用比组建一中小型图书角的费用少，这对于我们解决第（2）问有什么启示？

三、根据生活或生产实际确定

例4某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）.某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元.如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为（ ）

A.0.6元B.0.7元C.0.8元D.0.9元

分析：从市电话的收费标准及小刚打市电话的收费情况不难看出，如果通话时间较长，应尽量按照“每次只通话3分钟，挂断后再打3分钟”的方式打市话，这样所需的电话费较少.

解：先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元.最后再通话4分钟，又需0.3元，这样一共需0.7元，这也是所需的最少电话费.答案选B.

反思：最后通话4分钟为什么没有采取“先打3分钟，然后再打1分钟”的通话方式？

例5某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆.

（1）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；

（2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？

分析：（1）可设搭建A种园艺造型x个，然后列不等式组求出x的取值范围，进而确定搭配方案；（2）实际是确定最小值，由于搭配一个A种造型的成本比搭配一个B种造型的成本低，因此为了使成本最低，应尽可能多搭配A种造型，少搭配B种造型.

解：（1）设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个.

依题意得8x+5（50-x）≤349

4x+9（50-x）≤295

解得31≤x≤33.

∵x为整数，∴x =31，32，33，对应的30 -x =

19，18，17.

所以共有三种搭配方案：

①搭建A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；

②搭建A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；

③搭建A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.

（2）由于搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，即搭配一个A种造型的成本比搭配一个B种造型的成本低，所以搭配A种33个，B种17个成本最低.最低成本是33×200+17×360=12720（元）.

说明：在确定成本最低的方案时，正是根据“搭配一个A种造型的成本比搭配一个B种造型的成本低”，由于抓住了问题的本质，无需把每种方案的成本都计算出来再比较，因而解法比较简捷.

四、根据一次函数的增减性确定

例6健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐赠给社区健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个.

（1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，

共有多少种组装方案；

（2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元.求总组装费用最少的组装方案，最少组装费用是多少？

分析：（1）可设组装A型的健身器材x套，然后列不等式组求出x的取值范围，进而确定组装方案；（2）实际是确定最小值，可先用含x的代数式表示出组装费用y，然后利用一次函数的增减性求最小值.

解：（1）设该公司组装A型健身器材x套，则组装B型健身器材（40-x）套.

依题意得7x+3（40-x）≤240

4x+6（40-x）≤196

解得22≤x≤30.

∵x为整数，

∴x=22，23，24，25，26，27，28，29，30，对应的

40-x=18，17，16，15，14，13，12，11，10.

∴组装A、B两种型号的健身器材共有9种组装方案.

（2）总组装费用y=20x+18（40-x）=2x+720.

∵k=2>0，∴y随x的增大而增大.

∴当x=22时，即组装A型器材22套，组装B型器材18套时，总的组装费用最少，最少组装费用是2×22+720=764元.

说明：一次函数在实数范围内没有最值.但在实际问题中，由于自变量有一定的取值范围，如本例中22≤x≤30且x为整数，因此一次函数y=2x+ 720有最值.

五、根据二次函数的性质确定

例7某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件.

（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？

（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

分析：（1）略；（2）实际是确定最大值，设售价为每件x元，可先用含x的代数式表示出一个月的获利钱数，然后再根据二次函数的性质求出最大值.

解：（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利（30-20）×[105-5（30-25）]=800（元）；

（2）设售价为每件x元，一个月的获利为：

y=（x-20）[105-5（x-25）]=-5x2+330x-4600=-5（x-33）2+845.

∵a=-5<0，∴当x=33时，y的最大值是845.

所以当售价为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元.

说明：一般情况下此类问题中抛物线的顶点横坐标在未知数的取值范围内，因此当x在顶点横坐标处取得最值.

例8某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元.根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件.

（1）写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）写出销售该品牌童装获得的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少元？

分析：（1）、（2）略；（3）实际是确定最大值.可先求出x的取值范围，然后再根据二次函数的增减性求最大值.

解：（1）y=200x+（80-x）×20=-20x+1800；

（2）W =（x -60） （-20x +1800） =-20x2+3000x -108000；

（3）依题意，得-20x+1800≥240

x≥76

所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元.

说明：只有当二次函数的顶点横坐标在未知数的取值范围内时，二次函数才在顶点横坐标处取得最值，否则只能根据二次函数的增减性求最值，这是利用二次函数求最值时特别需要注意的问题.

（作者单位：福建省永春县第八中学）