构造相似三角形基本图形剖析

相似三角形在中考中应用特别广，无论是填空、选择，还是综合应用题，大多要用到相似三角形，但在复杂的几何图形中很难分辨出相似三角形.其实不管多复杂的几何图形都是由基本图形复合而成，因此熟悉相似三角形的基本图形，有助于快速准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题的思路和方法.相似三角形基本图形主要有以下几种：

如图1，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上.当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，我们称之为“A”字型，由“A”字型可得，AD·AC=AE·AB；如图2，当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB，我们称之为反“A”字型，由反“A”字型可得，AD·AB=AE·AC.如图4，在△ABC中，点D在CA边的

延长线上，点E在BA边的延长线上，当

∠AED=∠B时，△AED∽△ABC，我们称之

为“8”字型，由“8”字型可得，AD·AB=AE·

AC；如图5，当∠ADE=∠B时，△ADE∽

△ABC，我们称之为反“8”字型，由反“8”字

型可得，AD·AC=AE·AB，若连接线段BD和

CE，可得△ABD∽△ACE.

如图7和8，在△ABC中，点D在AB边上，当∠ADC=∠ACB时，△ADC∽△ACB，我们称之为“子母”型，由“子母”型可得，

AC2=AD·AB；如图8，当∠ADC=∠ACB=90°时，△ADC∽△ACB∽△CDB，还可得BC2= BD·AB，CD2=AD·DB.

例：如图9，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，F为EC上的点，且∠EAF=∠C.

求证：AF2=EF·FB.

解析：由AB∥CD

得∠B=∠C，

又∵∠EAF=∠C，∴∠EAF=∠B.

∴△AEF∽△BAF（“子母”型）.

∴AF

FB

如图10，在△ABC中，点E在AB边上，点D在AC边上，∠AED=∠B.将△AED绕点A旋转一定的角度，如图11，则△AED∽△ABC，我们称之为“旋转”型.

如图13，点A在线段CD上，当∠ACB=∠BAE=∠ADE时，△EAD∽△ABC，我们称之为“M”型.

例：如图14，在等腰△ABC中，∠ACB 120°，点D在AB边上，∠EDF=30°，点E在AC边上，点F在BC边上，求证：△ADE∽△BFD.

解析：由等腰△ABC，∠ACB=120°得∠BAC=∠CBA=30°，

∴∠AED+∠ADE=150°.∵∠EDF=30°，∴∠BDF+∠ADE=150°.

∴∠AED=∠BDF.∴△ADE∽△BFD

很多几何题并不直接给出这样的基本图形，需要我们添加辅助线构造这些基本图形，从而得到解题思路.

例：把边长为15的等边△ABC折叠使点A落在线段BC上一点D处，且BD∶DC=1∶4，设折痕为MN，点M在线段AB上点N在线段AC上，求AN的长.