追寻理想的数学教育

名师速写

齐胜利，安徽省黄山市黄山区教研室小学数学教研员。中学高级教师，安徽省特级教师，黄山市名教师。

生活在这个世界上的人们，总是以各种不同的方式在各自的领域中行走。教师也不例外，只是教师行走的领域很特别，因为他们的脚下是最有活力、最纯真、最美好的儿童世界，每跨出一步，要么会创造出更加美好的未来，要么会留下更多的遗憾。面对着行进中的儿童世界，他总是战战兢兢，害怕自己无意识地一伸脚，把一串串遗憾与失望留给自己与孩子。因而，用心走好每一步，用心做好每一个动作，用心思考每一个细节，自然就成了他每天必做的功课。

或许有人会说，如果什么事都用心去做，那人活着有多累呀！其实，很多时候，只要你心中始终装着孩子，感受着孩子，用心也就成了潜意识下的自然律动。用心行走不是刻意的做作，而是你心中享受教育的自然流露。

这是从齐胜利几十万字的教育随笔中读出的感受。1988年毕业工作至今，他一直从事着小学数学教育教学与研究工作。无论是担任小学数学教师，还是担任小学数学教研员，他一直在小学数学教育园地里辛勤耕耘着。

读书、教书、写作是他生活中最大的乐趣，他始终坚持“教而不思则罔”，从教二十多年来，一直把“做一个有思想的教育行动者”作为践行的目标。先后完成了三项省级课题、三项市级课题研究工作，撰写的教育教学论文有近三十篇发表在省级以上教育期刊，日常工作中还写下了几十万字的教育随笔，被人民教育出版社网站教育随笔专栏录用，多次参与安徽省教科所教辅材料的编写工作。让数学成为点燃儿童思维的火花，让数学成为师生共同成长的乐园，是他教学中一贯的追求。他的课堂朴实而不失有效，严谨而不失活泼，曾先后在省、市教学大赛中获一、二等奖。

作为小学数学教研员的他，多次在各地开设示范课、教学讲座；辅导的教师参加教学大赛，先后有多人次获国家、省、市一、二等奖。

正是由于出色的工作，他先后在2004年被评为黄山市第二届“名教师”；2006年被评为安徽省特级教师；2007年、2010年被评为黄山区第四、五批“拔尖人才”；2010年获得黄山市小学数学“学科带头人”称号，2012年获得中国教育学会小学教学专业委员会“先进个人”称号。

工作至今，已有26个年头，26年来一直从事着小学数学教育教学与研究工作，从最初的钻研教材、解读学生、探讨教法，到之后的反思课堂、研究学法、思考教学，始终沿着探寻小学数学教育真谛之路碎步前行。期间有快乐，也有苦恼；有成功，也有失落。无论怎样，只要看到学生有了新变化，教学又有新思路，所有的烦恼与失意瞬间都化成了工作上的充实与感动。

每每重新梳理那些感动的瞬间，发现自己更喜欢从“小事”中、“细节”处研究课堂，研究教材，研究学生，研究教学。

从“常态”中，探寻数学教育的内涵

日常教学工作中，那些每天都要做的常规，往往最容易被我们忽视，而这些又恰恰是数学教学中最重要的内容，它们不仅是数学教育过程中不可或缺的重要组成部分，更是帮助学生学习数学的重要手段。如数学教学过程中的板书问题，就是一个经常被大家忽视的“小事”，但就是这个不起眼的“小事”往往会影响到学生的学习效果，下面结合板书设计的内容，谈谈怎样丰富数学教育的内涵。

【教学案例】

板书是课堂教学中重要的组成部分，它能精炼地展示知识结构，有效地引领学生的思维，是提高课堂教学效益的重要手段之一。然而，传统课堂中的板书过分强调预设的内容，忽视课堂教学过程中生成的资源，从而造成板书与课堂教学实际相脱节的现象频频发生。这种预设式的板书，在很大程度上助长了教师的惰性，禁锢了学生的思维。处理好板书设计中预设与生成的关系非常重要。

1.在研读教材中梳理思路

要想设计出既符合实情又能发挥实效的板书，首先必须认真研读教材。只有理解了教材的编排意图，把握了教材的重心，才能够形成清晰的教学思路，这是构建板书最基本的前提条件。在“小数的性质”一课中，通过研读教材，明确了小数性质的教学起点与地位，制定了以“探索性质——归纳性质——应用性质”为主线的教学思路，力求借此引导学生对小数性质的理解经历“认识——内化——运用”，最终形成完整的小数性质知识结构。

2.在酝酿预案中构建雏形

教师在课前都要认真备课，精心设计教学预案，并在不断的修改完善中，构建板书雏形。如在酝酿中的“小数的性质”教学设计，考虑到学生正处在第二学段的起始，经反复思考，制定了一明一暗两条教学路线。围绕着一明一暗两条线交替发展的教学预案，初步设计出了相应的板书内容：

这样设计的初衷是想在学生验证小数性质的过程中，及时整理他们的思考流程。同时，也想借此引导学生对“小数的性质”的认识由形象向抽象发展。

3.在组织教学中实施设想

一个好的板书设计，只有预设是远远不够的，要想把预设好的板书设计转化为现实，还需要借助精心组织的课堂教学来实现。为此，教师在课堂教学中要有明确的构建板书的意识。本课教学中，当教师把海尔兄弟测量结果“0.20米、0.2米”板书出来时，学生一定会有质疑，此时，引导学生借助自己手中的工具，以小组合作的方式展开探讨与验证。通过验证，让学生发现0.20米与0.2米是相等的，从而补上“等号”的板书“0.20米=0.2米”。再引导学生观察两个数量的特点，学生会发现，左边的小数比右边的小数末尾多一个零。根据学生的反馈，板书并画上箭头。

去掉0

接着，引导学生讨论：“小数的末尾去掉零或添上零，大小会怎么样呢？”根据学生回答整理板书。

此时，对学生来说，他们只感受到0.20米、0.2米两个数量之间是相等的，并没有认识到0.20与0.2两个小数之间也是相等的。为了深化学生的认知，教师擦去两个数量后的单位，问此时的0.20与0.2还相等吗？随着学生不同验证方法的证明，逐步发现不仅0.20米与0.2米相等，0.20与0.2之间也是相等的，进而升华对小数性质的认识。

4.在处理细节中完善结构

板书设计的内容也应根据课堂教学过程中生成的内容进行适当的调整。在完成“小数的性质”验证后，就有必要开始思考“应用”这一环节了。在预设的板书设计中，没有小数性质的应用这一环节。但是，在具体的教学过程中，学生出乎意料的思考与讨论，延伸了这一内容。

生：老师，我发现根据小数的性质化简就是去掉小数末尾的零。（学生边说边用手画线比划着）

师：是吗？大家再仔细观察一下，看是不是这样？

生（观察后）：真是这样的。

相机对板书进行了补充：

通过这样的补充，就很直观地把“小数的性质”的内涵与实际运用结合起来了，不仅看得清楚，而且便于学生掌握。同时，学生根据这样的思路，还发现改写小数时也可以整理成类似化简小数的样子。经过几番讨论与争议，最终确定了改写小数的方法，一种是在原小数的末尾添上0，另一种是运用类似化简的方法根据需要去掉小数末尾一部分零。为了与其他箭头有区别，有学生建议两者之间画曲形的虚线箭头。

经过学生的补充，“小数的性质”板书内容，比预设饱满了许多，不仅把小数性质的内涵清晰地展现出来了，还把它的具体运用也清晰地展示出来，同时，还把定义与运用之间的联系也表现出来了。

从以上的案例中不难看出，板书设计这样的“常态”工作，不仅要精心预设板书内容，更要积极关注课堂教学过程中的动态变化，因势利导地予以调整，让板书真正成为引领学生学习、提升学生思维、促进学生成长的“指南针”。同时，其思考的过程，也有效地丰富了数学教育的内涵。

从“整合”中，探寻数学教育的活力

随着时代的发展，数学教育的手段也在不断更新，特别是信息技术的发展，使数学教学得到前所未有的技术支撑。信息技术手段给原本生硬、抽象、静态的数学定义、概念、原理等，赋予生动、形象、可视化的外壳，让很多教师讲不清、学生听不懂的数学知识，通过多媒体清晰地呈现在学生的面前，不仅通俗易懂，而且形象生动。下面就“圆的面积”公式的推导过程教学，谈谈信息技术在数学教学中的不可替代的作用。

【教学案例】

“圆的面积”是小学六年级的重要学习内容，在此之前，多边形面积学习的思路，平行四边形的面积公式的推导，是通过把平行四边形转化为长方形得出来的，梯形、三角形的面积公式也都是通过转化成已知图形的面积公式推导出来的，然而，之前所有的图形都是由线段围成的，图形之间有很紧密的内在联系，而圆却是由曲线围成的，怎样把一个曲线图形转化为一个已知的多边形后得出圆的面积公式，这就需要通过“化曲为直”、“化圆为方”的方法，而这又是教学的难点所在。因为这一过程教师在教学过程中很难表述清楚，如果用教具的话，等分圆就是一个难点，更别说展示等分的过程。然而，如果采用几何画板制作的圆面积公式推导动画，就能很清晰地展现等分圆的过程及组合成长方形的过程，学生能直观感受到“化圆为方”的过程，不仅有利于学生理解圆的面积公式，更适时渗透了极限思想。

几何画板制作一个圆面积公式推导过程动画如下。

第一次变换：设置t1为6，即把圆等分成6份，让学生初步感受“化圆为方”的可能。

通过等分、变形后，圆已被重新组合成一个类似长方形的图形，但此时与长方形的特征不是很吻合，学生还是难以认同转化后的图形是长方形。

第二次变换，设置t1为12，即把圆等分成12份，让学生感受到“化曲为直”的变化过程。

当把圆等分成12份后，发现组合成的图形越来越接近长方形了，通过动画展示的过程让学生直观地感受到，分的份数越多，组合成长方形的可能性越大。

第三次变换，设置t1为36，即把圆等分成36份，让学生体会到“化圆为方”的方法确实可以把圆转化成同等面积的长方形。

当把圆等分为36份后，再组合成的图形与长方形几乎没有区别，此时，学生真正的体验到“化圆为方”的力量，也体会到转化在解决问题中的重要意义。

几何画板中的动画功能，巧妙地解决了传统教学中无法解决的“化曲为直”、“化圆为方”的过程展示，让学生在直观的情境中，体会到转化的可行性以及其中蕴含的数学价值，有效地解决了数学教学过程中长期存在的无法言说的抽象性问题。信息技术与数学的整合，给数学教育，特别是小学数学教育带来了全新的视角和活力。

从“细节”中，探寻数学教育的张力

人们都说细节决定成败，在数学教学上更是如此，往往一个平时不注意，或很少关注到的细节，却成为影响教学成效的关键所在。因而，在日常教学过程中，除了认真钻研教材外，更要关注学生的学习心理变化，要从学生的学情中发现教学中的问题，反思问题的原因所在，找出解决问题的策略。下面结合课例谈谈如何拓展数学教育的张力。

【教学案例】

A老师

师：（用多媒体课件演示围的过程，之后又出现三组数据）如果小棒的长是4cm、5cm、9cm，能围成三角形吗？

生1：（不假思索地说）能围成。

师：能吗？赶紧用课件演示。

生2：我觉得能围成，（边说边用手势比划）每个角是180°，我用小棒试过的。

生3：行的，就是扁一点。（边说边比划）

师：（指着课件上的图，赶紧说明）两条边与第三条边都重合，怎么行呢？

生：（似懂非懂地看着大屏幕）。

教师赶紧引导学生总结出“三角形任意两边之和大于第三边”的特点。

B老师

师：这三条边能围成三角形吗？自己试一试。

（学生拿出小棒试了起来。很快有小组举手了。）

生1：我们组认为能围成。

生2：我觉得不能围成，因为4+6=10cm，10cm等于10cm，重合了。

师：你们觉得他说的有道理吗？（指生2的）能围成三角形吗？

生：（还有不少学生）能！我们试过的。

C老师

师：如果两条边的和与第三边相等时，能围成三角形吗？

生1：能围成。（指着自己摆的说）

生2：不能。（却说不出理由）

师：能吗？课件演示。

师：大家看后，你们认为两边之和等于第三边时，能围成三角形吗？

生：（一部分学生赶紧说）不能。

师：所以，只有任意两边之和大于第三边时，才能围成三角形。

……

【现象分析】

无论是A老师，还是B老师，抑或是C老师，教学中，均采用了小棒作为围成三角形的操作工具。三位教师提供的小棒为两类，一类是圆柱形的，另一类是长方体形的，无论是哪一类的小棒，它们都有一个共同的特点，那就是小棒不仅有“长度”，还有一定的“厚度”。

数学意义上的三角形是由三条线段围成的封闭图形，而这三条线段是没有“宽度”和“厚度”的，是抽象线段。小棒表面上是有一定距离的线段，实际上，它不是严格意义上的线段，因为它不仅有“长度”，还有“厚度”，与其说这些小棒是线段，还不如说它们是一个个“长方体”或“圆柱”。

当操作“任意两边之和等于第三边”的小棒时，有人能搭建起三角形，有人不能，究其原因，一是学生年龄小，动手能力差，在动手操作的过程中，很难准确地把小棒摆到相应的位置上，有时一个不经意的小动作，让本不能摆成的图形，摆成了；二是思维定势的影响，学生刚摆过“任意两条之和大于第三边”的三角形，此时再摆“任意两边之和等于第三边”时，思维定势影响他认为可以摆成；三是缺乏严格意义上的规范操作。

左图在操作过程中，没有注意到小棒与小棒连接之处必须是相同的端点对应相同的端点，只有这样按照统一规范的要求，才能真实的反映问题。

右图在操作过程中没有问题，问题出在小棒上。我们搭建三角形时，常识中都是使用小棒的某一个面，且使用的面是统一的。而在实际操作中，由于小棒有一定的“厚度”，当出现“任意两边之和等于第三边”，往往无意识中会用到“长方体”内部的“斜边”，而两条短边内部的“斜边”长之和是大于第三条边的。造成有些学生认为“任意两边之和等于第三边”时能搭成三角形的错误现象。

【应对策略】

教学中如何避免出现以上三位教师课堂上的尴尬局面呢？

1.“读懂”学生的心理是有效操作的前提

课堂教学的主体是学生，要想让每一个孩子通过课堂学习，提高自身的数学素养，教师必须要对学生有一个全面、清晰的认识。以上三节课中学生摆小棒出现的问题，从某一个角度折射出教师对学生缺乏了解，不了解这个年龄段儿童在学习过程中的心理状态，更不知道这些学生的操作能力处在什么样的水平。面对不熟悉的学生群体组织的操作，自然很难达成课前的预设效果。因而，教师要在课前深入了解教学对象，全面掌握他们的学习心理，根据学生已有的操作水平，设置有效的操作方案。

2.“读懂”学具的性能是有效操作的条件

从以上三节课中可以看出，正是由于忽视了对小棒的“厚度”这一不起眼的细节的解读，酿成了无法说服学生认同“任意两边之和等于第三边不能围成三角形”的败笔。因而，教师课前钻研教材、研究教法与学法的同时，也应认真分析教学中所采用的教具、学具的特点，有效地整合教具、学具与教学内容之间的关系，尽可能避免教具、学具对教学产生的负作用。

3.“读懂”使用规则是有效操作的保证

学生在使用小棒的过程中，由于没有明确的要求与规范，往往都是按自己的理解进行操作。这样做的后果是，一部分动手能力强一些的学生，通过模仿等活动，无意识中形成规范的操作方式；而那些动手能力稍弱一些的学生，在缺乏统一、规范的操作活动中，很难达成操作效果。因而，教师在每一次操作活动前，应对操作步骤、学具情况、注意事项等有一个清晰交待，学生在规范、有序地操作要求下的活动，针对性强，效率高，负迁移少。

4.“读懂”课堂变化是有效操作的根本

教学中的机智，体现了教师驾驭课堂的能力与水平。面对学生操作小棒中出现的问题，教师不应回避它，而应冷静地分析，迅速地找出原因，快速拿出应对策略。这样做可能暂时偏离了教学的预设，花去了宝贵的教学时间，但却能有效地促进学生思维发展，真正帮助学生从操作中感悟，在感悟中发现，在发现中提升。

课堂上“小棒”之类学具操作“小”问题，不仅反映出教师对学生、教学、教育的认识水平，更体现出教师在学具运用上的智慧。因而，教师只有认真处理好每一次类似“摆小棒”的操作活动，学具才能真正发挥出它应有的作用，学生才能在活动中感受到隐含的数学规律与思想，发挥出数学教育应有的张力。

从“现象”中，探寻数学教育的策略

我们当前的数学教学由于种种原因，孩子们在学习相同内容时，往往会表现出不同的学习效果。一个班因此会有不同的学习群体，一部分数学能力强的孩子，在成就动机的不断强化下，会越来越出色；而少数暂时学习能力弱的孩子，在失败面前会愈战愈败，信心与兴趣也逐步地丧失殆尽。下面结合具体案例，谈谈如何实施有效的数学教育策略。

【教学案例】

片断一：

……

师：大家赶紧做刚布置的作业，看哪位同学做得又对又好。

师：怎么样，都完成了吗？

众生：（陆续回答）完成了。

师：老师想请三位同学来做一做，下面的同学当裁判，仔细观察他们做的过程，好吗？

（由于很多孩子都想上讲台演示，在选学生上来的过程中，我有意挑选了小鑫。上来的学生大约几分钟就把题目做完了。）

师：我们大家都仔细看过了，你们认为他们三人做得怎么样？

生1：小鑫竖式写得有点不对齐。

生2：他是对的。

师：可能是在黑板上不好写，大家想一想小鑫整个计算过程有问题吗？

众生：没有。

师：大家感觉小鑫在课堂上表现怎么样？

生3：今天小鑫一定认真听讲了。

生4：小鑫学会了商的中间有0的除法的竖式计算。

生5：老师，小鑫这几天上课都在认真听讲呢。（他坐在小鑫边上）

师：小鑫，真不错。看来只要认真努力就一定能取得进步，你说是吗？

（小鑫小脸激动的通红，兴奋不已地点点头。）

师：还想挑战更难一些的问题吗？

小鑫：嗯！

片断二：

……

师：小凡，你怎么搞的，昨天作业又没有交。

小凡：（茫然地看着我，有点不知所措）

生1：（小组长）老师，他的口算题卡上许多错题都不订正。

生2：他还喜欢打人。

……

师：好了，好了，你先站着，等会老师再找你。

（下课后我把小凡喊到办公室里，对他没有完成作业的情况进行了严厉的批评，并且要求他今天上午一定要把昨天的作业补上。小凡一副无所谓的样子，好像我不是与他说话。到了中午放学时，小组长跑来报告说，小凡逃跑了。）

日常教学中这类问题是常态现象，教师在处理问题时大都受情绪与经验影响，随意性很大。仔细比较以上两个片断中处理问题的细节，可以看出两种不同的教育措施，产生了两种完全不同的效果。

在对小鑫作业的处理上，我没有简单地个别表扬他，而是把他放在学生之中，让他细细地品尝自己努力得来的成果，这些成果是活生生的，是得到全体学生认可的。它就像在夜空中划亮的火星，一下子就点燃起了小鑫的信心，照亮了他前进的路。我想如果今后的每节课中都对与他相同的孩子多一些这样的“照顾”，让他们也能够感受到学习数学的快乐。

在处理小凡的问题上，我过于武断与草率了。小凡不仅学习不好，而且品行上也有些问题，这些可能都先入为主，左右着我对他的看法，使我在处理问题的过程中方法简单，态度自然也不好。如此一来，小凡当然会与我对着干了，采用拖、不理睬、不服从等方式抵抗，其结果是越教育，孩子反而越差。这是一个危险的信号，今后在处理与此相似的问题时，多站在学生的角度想一想，多了解一些学生的实情，多与学生商量，这样你提出的解决方案孩子才有可能自觉地去执行。

从以上的教学片断中不难发现，有效的数学教育策略不仅影响着学生的发展，更反映了教师教育教学工作的层次与水平，如果我们能用一颗包容的心，平等关注每一个孩子，你会发现学生的思维即使在某处短暂的“短路”，一旦我们巧妙地“链接”上，他们瞬间会跳动起明亮的火花。

此外，我还从“研究”中，探寻数学教育的厚度。数学给我的印象好像是抽象、理性、形式化，怎样引导学生深入浅出地理解、把握学习内容，一直是数学教育研究的主要方向。为此，教师应深入钻研教材、教法，深入研究学生，特别应对教学素材要做深入的研究，力争做到高屋建瓴地审视、解读教学素材，夯实数学教育的基础。

追寻理想中的数学教育，创造更加适合学生成长的数学课堂，一直是我的教育追求。为此，工作中始终坚持从大处着眼，小处着手，努力从众多的“小事”中探求数学教育的规律，寻找合适的教育方案。虽然现在还处在探寻的路上，但我相信，只要通过对数学教育过程中各类“小事”不间断地思考、实践、探索，适合儿童学习的数学教育一定会慢慢地呈现在人们的面前。

（作者单位：安徽黄山市黄山区教研室）