用Lagrange插值法实现溶解度曲线的绘制

赵荣红

摘 要：根据拉格郎日（Lagrange）插值算法原理，运用Flash的ActionScript脚本语言，以现有实验数据（或文献数据）为依据，通过内插方式，增补中间数据，实现了常见物质的溶解度曲线绘制，使曲线更具平滑，消除了由于数据结点少而产生拆线的不足。

关键词：Lagrange插值算法；溶解度曲线；ActionScript脚本语言

一、概述

初学化学教学中溶解度及溶解度曲线的知识，是让学生理解和掌握溶液的概念和基本特征，认识溶解现象，了解物质的溶解过程以及溶液在生产、生活中的应用，了解饱和溶液和溶解度的概念、含义，了解溶解度曲线的意义。在教学课件的设计中，如何能更好地绘制出溶解度曲线使学生能更有效、直观地去理解和掌握教学内容有着十分重要的意义。本文是通过运用一种常用的插值方法——拉格郎日（Lagrange）插值法，实现常见物质的溶解度曲线绘制。

二、基本原理

所谓“插值”，通俗地讲就是在所给函数表中再“插入”一些需要的函数值。数据表中的函数值为已知的节点xi，称为插值节点，插值节点上所给的函数值yi=f（xi）称为样本值，函数值待求点x，则称为插值点。插值节点所界定的Δ=[minxi，maxxi]称为插值区间。插值方法的设计原理是针对某个插值点x，用插值节点xi上的样本值组合生成f（x）的近似值y即：

f（x）≈■λi f（xi） （1）

就是说，适当选取权系数λi，而取yi的组合值，即：

y=■λi yi （2）

作为插值结果。

用于插值计算的式（2）即称为式（1）的插值公式。插值方法的目的在于寻求函数的近似值，自然要求所求出的插值结果能够有足够的精度。为保证所设计的插值公式f（x）具有“尽可能高”的精度，则可以用n阶多项式表示。Lagrange插值方法的基本思想是：将待求的n次多项式的插值函数f（x）改写成用已知函数值的系数的n+1个待定n次多项式的线性组合形式，再用插值条件和函数分解技术确定n+1个待定n次多项式，求出插值多项式。有如下形式的Lagrange插值基函数。

φi（x）=■■，i=0，1，2，...，n （3）

显然基函数

φi（xi）=1

φi（xj）=0，j=0，1，...，i-1，i+1，...，n

因而将它们加以组合即得所求的插值公式

y=■yiφi（x）=■yi ■■ （4）

这种形式的插值公式称为Lagrange插值公式。

三、插值实现

1.常见物质的溶解度

通过查阅资料可获取各种物质的溶解度，表1列出了几种常见物质的溶解度值。

注：？葚表示为用Lagrange方法计算的值。

2.实现方法

根据（4）式，我们用Flash动画设计软件的ActionScript 3定义了一个类Lagrange，通过该类的一个方法LagrangeInsert（ ）完成给定插入点x的函数值计算。（如下代码所示）

public class Lagrange

{

public function LagrangeInsert（xx：Number，leng：int，arr1：Array，arr2：Array）：Number

{

var yy：Number = 0；

var i：int；

var j：int；

var l：Number；

for （i=0； i

{

l = 1；

for （j=0； j

{

if （i ！= j）

{

l *= （xx-arr1[j]）/（arr1[i]-arr1[j]）；

}

}

yy += arr2[i] * l；

}

return yy；

}

}

说明：在上述方法中，xx表示插入点横坐标（即任意温度值），leng表示物质溶解度测定值（或参考文献值的结点数），一般来讲可能是11个结点值（从0到100，每10度一个测定值），arr1和arr2分别表示温度和对应溶解度测定值（或参考文献值）。任意给定一个温度值（xx），就可计算并返回一个溶解度值（yy表示）（即插入值）。根据需要，通过循环方法可以计算出多个插入值，然后将这些值通过绘制线段的方法绘制出来，即可形成一条平滑的曲线，避免了出现折线形式。如我们计算NH4HCO3的20个溶解度值：

表2 Lagrange插值法计算所得溶解度值

■

NH4HCO3的溶解度曲线为如下图所示：

■

四、结论

运用该方法，实现了常见物质的溶解度曲线绘制，使曲线更具平滑，对完成这类曲线绘制具有一定的帮助作用，对制作更为精确、漂亮的教学课件有很好的借鉴意义。

参考文献：

王能超.计算方法简明教程.北京：高等教育出版社，2004-01.

（作者单位 陕西省咸阳渭城二初中）