韦达定理的妙用

吕强

摘 要：韦达定理在初中教材中称为“一元二次方程的根与系数的关系”，在 求一元二次方程中参数的值或取值范围时，有着重要作用，同时也可反过来构造一元二次方程，将非一元二次方程问题转化为一元二次方程，另辟蹊径，化难为易。

关键词：韦达定理；根的定义；判别式；构造方程

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。

韦达定理的内容是：若 x1、x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=-， x1x2=，其简单的形式包含了丰富的数学内容，应用广泛，妙趣横生，主要体现在以下几方面：

1 运用韦达定理，求方程中参数的值或取值范围

例：已知x1、 x2是方程2x2-2x+1-3m=0的两实根，且x1x2+2（x1+x2）>0，则m的取值范围为_____。

解析：运用韦达定理，可轻易地建立关于m的不等式，但同时要注意“△≥0”这一隐含条件的限制。

2 运用韦达定理，求代数式的值

例：已知α、 β是方程x2-x-1=0的两根，求代数式α2+α（β2-2）的值。

解析：利用根的定义，有α2-α-1=0 ，β2-β-1=0 ，得α2= α+1，β2=β+1 ，可达到降次的目的，则原式=α+1+α（β-1）=α+1+αβ-2= αβ+1，由韦达定理得，αβ=-1 ，故原式=0。

3 运用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征

在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若△≥0，则有：（1）若b=0，则 x1+x2==0，即两根异号；（2）若a=c，则 x1x2=1，即两根互为倒数；（3）若 ，则两根同为负；（4）若 则两根同为正；（5）若 x1x2=<0，则两根异号。

例：已知关于x的方程x2-（m-2）x-=0的两根 x1、x2 满足x2=x1+2，求m的值及相应的x1、 x2 。

解析：易证无论m取何值，方程总有两相异实根，由于 x1x2=-≤0，则 或 ，从而展开讨论，以达到去绝对值的目的，化难为易。

四、 运用韦达定理，构造相应的一元二次方程，将问题转化为一元二次方程的相关问题，有时可以发挥“柳暗花明又一村”的效果。

例：已知实数a 、 b满足a2+ab+b2=1，且ab-a2-b2=t，求t的取值范围。

解析：两式相加可得ab=，进一步可求 a+b=±（t≥-3），则a 、 b为方程x2±x+=0的两根，由于△≥0，可得t≤-，即得-3 ≤t ≤- 。

再来看一个经典的题目：

如图：△ABC的面积为S， SEFG的顶点D、G分别在边AB、AC上，顶点E、F在边BC上，求证：S□DEFG ≤S 。

证明：作AH⊥BC于H，交DG于I，记 S□DEFG =S1

∵DG∥BC，∴□ADG□□ABC

∴=1-即+=1

∵S1=DG·IH，S= BC·AH→BC·AH=2S

∴=即 ·=

∴ 、是关于x的方程x2-x+=0的两根

∴□=（-1）2-4×≥0得S1 ≤ S

即S□DEFG≤ S

韦达定理与代数、几何中许多知识可以有机结合，巧妙地转化和简化问题，这也需要一定的对称分析和构造模型的能力，我们只有经过不断的运用和尝试，才能敏锐地捕捉相关信息，在恰当的时候准确使用韦达定理，发挥出它的最大作用！

参考文献

1 薛金星.中学教材全解

2 黄东坡.数学培优竞赛

（责任编辑 张晓燕）