巧用分段函数活化高中函数概念与性质

摘要：分段函数表达形式多样，定义形式灵活，不拘于单一的对应法则，使函数关系更有表达力，文中以分段函数为载体，通过实例活化函数的概念，加强函数性质的运用，从而提高学生分析问题解决问题的能力。

关键词：分段函数概念；背景；措施；方法

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）50-0161-02

一、基本概念

函数：初中定义为在某个变化过程中有自变量与因变量，对于自变量取一个值，因变量都有唯一的值与它对应。

函数的近代定义：设A，B都是非空的数集，f：x→y是从A 到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数。函数概念有三个要素：定义域A，值域C和对应法则，它是函数关系的本质特征。

分段函数：主要是将在定义域分段下以不同对应法则得到对应函数式。

偶（奇）函数：函数y=f（x），对于定义域内的每个x，都有 f（-x）=f（x），（f（-x）=-f（x））则y=f（x）是偶（奇）函数。

周期函数：设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则f（x）称是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

二、分段函数的实时背景

分段函数在高中数学教材中并没有作深入的说明，它由绝对值函数分段而产生的，如f（x）=|x-1|+|x+1|就要分三段化简，得到了分段函数。分段函数比较抽象，解析式变化也很大，高中学生新学也比较困难，不过因其表达式的自由多变，更能活化函数的性质与彰显函数思想。特别是近年来的考题中有许多是对分段函数的奇偶性、周期性、对称性等进行综合考查，应引起重视。

三、分段函数活化函数概念及性质具体措施主要有四点

1.利用分段函数揭示变量之间的对应关系，明晰概念内涵。分段函数更能体现定义域和值域的映射关系，更能将自变量与因变量的关系表达清楚。

例如：函数（x）=x+1（x<0）2x+1（x=0）1-2x（x>0）求（1）f（f（f（1）））= ；

（2）■= 。

本题中的计算遵循逻辑顺序，先算f（1）=-1，再算f（-1）=0，f（0）=1。由此，发现函数遵循周期性的循环，求值规律揭示函数周期性而发觉函数思想，在具体而又更替性的对应运算中，看到了定值与定值之间形成映射的内在关系，深化近代函数概念的内涵。

2.利用函数分段，体现函数对应关系的多样性与具体性，深化函数的本质特征。例如：已知函数f（x）为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x>0时f（x）=sin2x-cosx， 求当x<0时f（x）的解析式。此题运用化归思想综合了函数的性质，将f（x）与f（-x）的相互转化，解得当x<0时f（x）=sin2x-cosx。

3.利用函数分段，深化函数思想中的求值域、求定值，彰显数形结合。

例如f（x）=a？茚b=a（a≥b）b（a

4.利用函数分段，深化函数的基本性质，如奇偶性，周期性，对称性等。

例如：已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）=-■，当2≤x≤3时，f（x）=x，则f（105.5）= 。

由f（x+2）=-■，得f（x+4）=f（x），即f（x）是以T=4的周期函数，从而求得f（105.5）=f（108-2.5）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5。

四、运用分段函数深化函数与方程的思想

函数与方程有许多统一的地方，方程是满足等量关系，函数是满足变化关系，都有量之间的等量关系共性。

函数与方程思想使变量关系有内在的逻辑性，如f（x）=x2-2x+3（x≤0）-2+lnx（x>0）的零点个数为 。通过零点特殊的自变量值与特殊的函数关系，明确函数特定关系，确定零点，从而为函数中值定理等打好基础。又如：设f（x）=x2+bx+3（x≤0）2 （x>0），若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，则关于x的方程的解的个数为 。通过方程多元解，说明函数之间y可以一对多，但不可以一个x对多个y，从而从正反方面阐明函数的概念。

分段函数表达形式多样，定义形式灵活，不拘于单一的对应法则，使函数关系更有表达力，当然分段函数只是载体，高考中主要还是考查函数性质，函数和不等式结合等等，都是考查函数部分中较复杂的题型。只要掌握了分段函数的题型特点及解题技巧，同时把握住其中的解题要点，就能轻松应对分段函数问题。总而言之，“分段函数分段解决”，若能画出分段函数的大致图象，那么上述许多问题将会很容易解决。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书 数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]普通高中课程标准实验教科书 数学必修2[M].北京：人民教育出版社，2008.

[3]刘义军.奥赛经典·初中数学培优竞赛梯级训练[M].长沙：湖南师范大学出版社，2010.

[4]陈兴祥.学海导航高一数学[M].海南：海南出版社，2011.

作者简介：黄咏梅（1968—），女，现中南大学附属铁道中学数学中级教师，曾多次评为优秀教师，国家级奥数教练，曾在《中学数学》、《中学数学教学参考》发表过论文。