中学数学概念教学的有效情境设计

曲树河

数学概念教学是数学教学中最重要的内容。中学数学课堂教学怎样讲授概念也一直为众多教师所关注，一般认为需要四个环节：感知、理解、巩固、运用，实际上每个环节中都体现着情境的因素，所以在重视概念产生的背景，概念的引入，概念的定义，概念的理解，概念间的联系，概念的巩固和运用这些环节时，更要注重有助于这些环节形成的情境。也就是说，我们要创设有助于概念引入的情境，设计有助于概念形成的情境，有助于概念下定义的情境，有助于概念理解的情境，有助于概念识别的情境。

一、设计有助于概念引入的情境

数学概念的引入是揭示数学概念发生过程的过程，也就是说要揭示概念发生的实际背景和基础，数学概念的引入要和学生的认知水平、思维能力、教材的实际密切相连。概念的引入是学生获得概念的前奏，极大地影响着学生对概念的理解和运用。因此，数学概念的引入是数学概念教学的一个重要环节。在创设情境时，可以从实际例子引入，也可以在观察中引入，可以在对比中引入，也可以在实际操作中引入。

例1：二面角的概念的引入。先举生活中的例子：我们知道，山坡与水平面，每天开关的门所在平面与门框的平面都形成一定角度，下面教师让学生把教科书随意打开成两个平面，随着张合的程度的不同，让学生可以感受到两个平面是成一定角度的并且成角的大小是不一样的，让学生从感觉上认识到两个平面成角是有大小的，但怎样来界定呢？教师让一组学生把书成直角，另一组把书成锐角，再一组把书成钝角，在书脊上任取一点，在两个面上用铅笔分别引直线a，b，分与书脊这条棱垂直和不垂直两种情形，让学生用三角尺、量角器自己动手操作，比较不同情况下a，b所夹角能否来表示二面角的大小，通过同学分组讨论、交流，发现只有a，b与棱都垂直时，角是不变的和所选点无关，且这个平面角的大小就是二面角的大小，从而引入二面角的概念。类似地，像圆、椭圆、双曲线、抛物线、平角、周角等都可以按这种方式来引入。

二、设计有助于概念形成的情境

数学概念的形成过程大致都是对一类事物的多个对象进行观察，比较分析，综合抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳概括各个对象的共同属性，从而使概念得以形成，并且经历了概念的整个学习过程，所以我们必须设置具有现实背景和丰富寓意的数学情境，返璞归真，这也是符合人的认识的心理品质的。

例2：函数的概念是学生最早碰到的难点概念之一，在函数概念的学习中我是这样设置概念形成情境的。首先给出初中学过的对应例子：

我们总结，给定两个集合A，B按照某种对应法则f，对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素和它对应，我们发现构成对应的要素是：集合A，B，对应法则f，对应的特点有“一对一”“多对一”“一对多”几种情况，对上面的于盂榆我们再用对应的概念来解释一下，构成要素依然是：集合A，B和对应法则f，但对应的特点是“多对一”或“一对一”了，所以可以归结为：对给定的集合A，B，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫映射，现在把集合A，B改为非空数集，对照于盂榆图能否加强一下映射的概念呢？通过学生的讨论，分析得到函数的定义：设A，B为非空数集，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称：A寅B是从A到B的函数，记作y=f（x），学生的叙述中有些不是很规范，但能用浅显的语言揭示出概念的内涵来，这样从具体到抽象、从感性到理性的变化中，学生容易接受，概念得以形成。

三、设计有助于概念下定义的情境

揭示概念的内涵就是给概念下定义，也就是指出它所能反映的对象所具有的本质属性，揭示出概念的内涵，实际就是总结研究的结果。给概念下定义是严密的，学生通过所设置的情境去观察、比较、概括、归纳、整理，经过这一系列过程，再在教师引导下，尝试修改补充，师生一同归纳，便可得到明晰简洁的定义。

例3：“直线倾斜角”的概念教学，可以设置如下情境：现有东西走向的A，B两城，在海上有一小岛C，先从A，B两城出发，怎样才能快速到达小岛？学生说沿直线走最快，教师接着问从A到小岛的直线距离怎样确定，学生已经感受到明确AC相对AB的倾斜程度即可，再进一步说，也就是知道AC和AB所成的角即可，这时学生已能感受利用角来刻画直线的倾斜程度了，现在教师用多媒体演示一条彩色直线绕它与x轴交点旋转的几种位置情况，让学生观察再回答，学生回答在不同位置倾斜程度不一样，即角大小不同，教师问相对谁而言，学生回答相对x轴倾斜程度不一样，也就是直线与x轴的角大小不同，

老师：直线与x轴成几个角？

学生：四个角。

老师：我们用直线与x轴所成角来表示直线的倾斜程度严密吗？想一想角的推广。

学生：不严密，用一个角表示即可说明。

老师：不妨设与x轴正向成角为所找角。

学生（即刻反应）：这也有两个角。

老师：那怎么办？

学生：用直线向x轴的方向与x轴所成的角就唯一确定。

老师：这个分析非常精彩，但这个角就一定唯一吗？

学生（思考后）：这个角不唯一，因为终边也相同的角可以表示成2k仔+琢（k沂z）的形式，这样的角有无数多。

老师：角怎样才能唯一确定呢？

学生讨论：要是界定直线的正方向与x轴正向所成的最小正角即可唯一确定了。

这样，师生再一同归纳补充，就给倾斜角下了一个完整的定义。

四、设计有助于概念理解的情境

准确地理解数学概念是学好数学概念的关键，理解一个概念是掌握一个概念的前提，理解是在感知的基础上通过思维加工，把新的知识同化到已有的认知结构中，这是一个复杂的心理过程，对概念的理解是和人的认识水平相关的，人的认识水平可以划分为三个不同层次，即“已知区”“最近发展区”和“未知区”，人的认识水平实际上就是在这三个层次上循环往复不断内化的，当一个概念诞生后，就进入了“已知区”，那么对概念的理解和拓展就是寻求“最近发展区”，要找到“已知区”与“最近发展区”的结合点，教师必须抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭示每一个词、句、符号实质的内在含义，并以此来设置情境，就会激起学生学习的热情，加深对概念的理解。概念理解的情境可以以实际例子为依托，对例子进行抽象，概括，分析，反复修正，以加深理解，也可以通过实际例子，进行辨别，进一步理解概念的内涵和外延，当然也可以建立知识框架图表等来加深对概念的理解。

例4：在学完正棱锥的概念后，对正棱锥概念的理解可设置如下问题情境：

淤侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥（一定）

于侧面与底面所成角相等的棱锥是否一定是正棱锥（不一定）

盂底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥（不一定）

榆侧棱相等，侧面与底面所成角相等的棱锥是正棱锥（一定）

虞层棱相等，底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥（一定）

愚侧面是全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥（一定）

数学是一门系统性很强的学科，事实上，学生获得的知识如果没有完整的框架结构把它们联系在一起，那么所学的东西因为空散而常会遗忘掉，但如果在学完一个概念以后，对概念进行总结，从不同角度，创设合理的归类图表情境，将会加深对概念的理解。

学生对数学问题解决上的失败，在许多方面是可以与概念理解的不深透联系起来的，而此点又恰是我们教师和学生常常不能很好地认识到的一点，常以“马虎”“学习机械”等来解释，这种瞒天过海的做法实不足取，事实是我们在概念学习中，对概念的识别不够才导致这样的错误。所以在概念教学中要注重概念识别情境的设置，在学生易出错的地方设置情境，以加深印象。识别的本身应该具有隐蔽性和干扰性，否则意义就不大了。

例5：求方程mx²+2x+1=0有负根的条件，有学生借助判别式或实根分布的办法很快解决到答案为m（0，1），请问这种解法的答案是否正确？

好多学生都举手认为答案正确，但实际上丢掉了m=0时的情形，只是从表面上把上述表达看作了一元二次方程，但实际上一元二次方程ax²+bx+c=0是要求的a屹0的。再如，不等式（a- 2）x²+（a- 2）x+1跃0恒成立时，a的取值范围。学生也常把a=2时丢掉，也就是说上述问题的解决只是用概念的部分本质特征来解决问题的，这种识别情境的设置是非常必要的，在我授课的过程中发现学生经常犯这类错误，这种现象是值得重视的。

（作者单位：内蒙古海拉尔第二中学）