中考前数学考点专题解析

李艳芹

一般地，解析式形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数，x是自变量，y为因变量.一次函数的定义域是一切实数.

特别地，当b=0时，一次函数就成为y=kx （k是常数，k≠0），这时y是x的正比例函数.因此正比例函数是一次函数的特殊情形.

对于y=c（c为常数）表示不论x的值怎样变化，y的值总是常数c，我们仍认为y与x之间没有确定的依赖关系，这时把函数y=c（c为常数）叫做常值函数，其自变量由所讨论的问题确定.

例1.（2012济南）当m为何值时，函数y=-（m-2）xm -3+（m-4）是一次函数？

分析：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0.

解：∵原函数是一次函数，则

m2-3=1

-（m-2）≠0

解得m=-2.

∴当m=-2时，原函数是一次函数.

小结：某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0.而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0.

考点二：一次函数的图象与性质

一般地，一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图象是一条直线，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b，这时，把一次函数的解析式y=kx+b称为这一直线的表达式.正比例函数的图象也是一条直线.

例2.（2012南京）看图说故事.

请你写一个故事，使故事情景中出现一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：①指出变量x、y的含义；②利用图象中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量.

解析：根据情景说明函数关系，注意只有两变量，涉及其他的量必须是常量.

答案：①略.

②如：公共汽车从A站出发，5分钟内速度由0逐渐增加到2m/s，然后匀速运动，到11分钟时开始减速，第15分钟停靠B站.

点评：此类题目属于开放性问题，答案不唯一，考察学生知识应用的情况.

考点三：一次函数解析式的确定

由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个独立的条件确定两个关于k、b的方程，求得k、b的值，这两个条件通常是两个点或两对x、y的值.用待定系数法确定函数解析式的一般步骤为：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

例3.（2012山东）已知一次函数y=kx+b图象经过点（-2，5）并且与y轴相交于点P，直线y=-1 2x+3与y轴相交于点Q，点Q与点P关于x轴对称，求这个一次函数的解析式.

分析：直线与y轴相交，其交点Q的横坐标为0，求出交点坐标.再利用对称性求出点P的坐标，根据点（-2，5）和点P在直线上，其点的坐标符合其函数解析式，列方程组求解.

解：∵直线y=-1 2 x+3与y轴的交点Q的坐标为（0，3），

又∵点P与点Q关于x轴对称，

∴点P的坐标为（0，-3），把点（-2，5）和点（0，-3）代入y=kx+b得

∴这个函数解析式为y=-4x-3.

考点四：一次函数的实际应用

例4.（2013山东）有一个附有进水管、出水管的水池，每单位时间内进出水管的进、出水量都是一定的，设从某时刻开始，4h内只进水不出水，在随后的时间内不进水只出水，得到的时间x（h）与水量y（m3）之间的关系图（如图）.

回答下列问题：

（1）进水管4h共进水多少？每小时进水多少？（2）当0≤x≤4时，y与x有何关系？（3）当x=9时，水池中的水量是多少？（4）若4h后，只放水不进水，那么多少小时可将水池中的水放完？

分析：在本题中横坐标的意义是进出水的时间，纵坐标表示水池中的水量，从图象看0≤x≤4时，y是x的正比例函数关系；x>4时，y是x的一次函数关系.

解：（1）由图象知，4h共进水20m3，所以每小时进水量为5m3.

（2）由于0≤x≤4时，y是正比例函数，设y=kx，由于其图象过点（4，20），所以20=4k，k=5，即y=5x（0≤x≤4）.

（3）由图象可知：当x=9时y=10，即水池中的水量为10m3.

（4）由于x≥4时，图象是一条直线，所以y与x符合一次函数关系，设y=kx+b，

由图象可知，该直线过点（4，20）、（9，10）.

考点五：二次函数的有关概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.

（1）求m的值；

（2）求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标；

（3）问在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：抛物线与x轴交于A、B两点，OA=OB，故A、B两点关于y轴对称，就可求得m的值，由抛物线交y轴的正半轴，得m的确定值.

解答：（1）∵抛物线与y轴交于正半轴，且OA=OB.

∴M（2，2）不在抛物线上，即不存在一点M，使△MAC≌△OAC.

点评：存在性问题，通常是先假定存在，若能找出具备某种条件或性质的对象就说明存在，其叙述过程就是理由；若不存在，就需要进一步说明理由.