一道集合复习题的探索

龙强云

集合这一章的内容涉及的概念多，数学方法多，复习起来，要想面面俱到，就需很多例题来讲解，笔者这里有一道变式例题，可以将集合的内容一一覆盖，下面我们就来探索这道题。

例：已知集合A={x|x2+4x=0}

B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}

（1）.若集合B中只有一个元素，求实数a的值；

（2）.若集合B中至少有一个元素，求实数a的取值范围；

（3）.若集合B中至多有一个元素，求实数a的取值范围；

（4）.若A∪B=B求实数a的值；

（5）.若B A， 求实数a的取值范围；

（6）.若A∩B≠Ф求实数a的值；

分析： （1） （2） （3）题针对集合B中元素的个数来命题的，我们可以转化为方程的解的个数来解决。

解： A={-4，0} 方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的判别式⊿=4（a+1）2-4（a2-1）=8a+8依题意知： （1）⊿=0 a=-1

（2）⊿≥0 a≥-1（3）⊿≤0 a≤-1

分析： （4） （5） （6）是集合间的关系的转化，深刻理解集合元素的特征： 确定性、互异性、无序性以及空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集，任何集合都是它本身的子集，要注意用借助数轴和文氏图转化成数学语 B A有两个元素，B最多有两个元素，故A=B

即：0，-4是方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的两根

0+（-4）=-2（a+1）

0×（-4）= a2-1 a=1

（5）B

A ∴B=Ф或{0}或{-4}或{0，-4}依次求得a<-1 或a=-1或a∈Ф或a=1

（6） A∩B={0}或{-4}或{0，-4}

0∈B或-4∈B或B={0，-4}分别求得

a=-1，1或a=1，7或a=1

∴a∈{-1，1，7}

小结： 1.基本概念的理解与掌握

2. 数形结合思想：解答某些集合问题，一般借助数轴和文氏图求解，以“形”助“数”，形象直观，方便快捷。

3. 等价转化思想：解答集合问题时，有时需要对给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能得以有效利用。

4. 分类讨论思想：根据解题的实际需要，有时需要对解题过程的某一环节分类讨论。分类讨论要注意“起点”的寻找和“层次”的划分，做到“起点”讨论合理自然，“层次”划分明确清晰。分类讨论的原则是“既不重复，也不遗漏”。