浅谈数学概念教学

龙旭东

摘 要：数学概念是反映现实世界的数量关系和空间形式的本质属性和内在联系的思维形式，是对一类数学对象本质特征的概括。可以说“数学是从概念出发的”。因此，理解、掌握数学概念是学好数学的前提和保证。在课堂教学中，运用逻辑方法，分析、归纳概念间的关系，使各个概念间有较强的联系，体现出各个概念之间的结构性，对学生正确掌握概念的内涵和外延，深刻理解并牢固地掌握、灵活地运用概念有重要作用。

关键词：概念；同一；从属；全异

一、数学概念的几种关系

中小学数学科学系统中，除了一些不定义的概念或者原始概念之外，其余概念通过给它下定义来准确揭示它的内涵。在一般情况下，当一个概念的内涵被揭示后，也就确定了它的外延，因此，概念的定义可以作为判别概念外延的标准。在中小学数学里，从逻辑的角度看，两个概念的外延之间，有下列几种关系：

1.同一关系

如果两个概念的外延完全重合，那么这两个概念具有同一关系。例如，数0是自然数集中的最小的数，它又是正数与负数的分界数，在数的运算中又是两个相等数的差。又如，数1是不为0的同一数相除的商；在对数中，1=lg2+lg5；在三角函数中，1=sin2α+cos2α等。上述各组概念的外延完全重合，它们都是具有同一关系的概念。

2.从属关系

不是同一关系的两个概念甲和乙，如果甲概念的外延A完全包含乙概念的外延B，那么这两个概念具有从属关系。在具有从属关系的两个概念中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。例如，四边形与平行四边形；整数与分数；等式与方程；复数的模与实数的绝对值等，它们都具有从属关系。

3.全异关系

如果两个概念的外延间没有任何一部分重合，那么这两个概念具有全异关系。全异关系分为矛盾关系和反对关系。在同一属概念之下的两个种概念，如果它们的外延之和等于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么这两个种概念的关系称为矛盾关系。例如，在平面几何中，“直角三角形与斜角三角形”，实数中的负数与非负数等都是具有矛盾关系的概念。如果它们的外延之和小于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么这两个种概念的关系称为反对关系。例如，在自然数中考虑质数与合数，在四边形中考虑“平行四边形”与“梯形”等，这两组概念都具有反对关系。

二、利用概念间的关系，让学生准确理解概念

1.利用同一关系，让学生全面理解概念

在中小学数学里，有的概念叙述简洁，寓意深刻，有的概念用式子表示，比较抽象。具有同一关系的概念，它们的外延完全重合，而它们的内涵可以有所不同，根据这一情况，抓住同一关系的概念进行比较，可以让学生全面理解概念。

2.利用从属关系，让学生清晰地理解概念

具有从属关系的概念在中小学数学里大量存在，对这些概念的学习，就可以通过确定它们彼此的从属关系，揭示相互之间的有机联系，把有关概念逐个串联起来，使之形成一个环环相扣的概念链。例如，在对四边形、平行四边形、长方形、正方形进行复习时，就可以利用集合图来表示它们四者的从属关系，这种方法比较直观形象，易于理解和掌握。

3.利用反对、矛盾关系，让学生深刻地理解概念

具有反对、矛盾关系的两个概念在数学上也是大量存在的，了解了它可以采用充分分析一方而另一方必然自明的方法来进行教学，从而达到让学生深刻地理解概念的目的。例如，在教学等边三角形与不等边三角形时，有的学生把等边三角形视为不等边三角形的否定，事实上，我们知道，等边三角形是三边都相等的三角形，不等边三角形是三边都不相等的三角形，因此，这两个概念是反對关系的概念，但不是矛盾关系的概念，两者之间还有一种底边和腰不相等的等腰三角形。

参考文献：

[1]郝澎.关于初中数学课本中概念定义的商讨.数学通报，1990（08）.

[2]汪绳祖.小学数学教育学.高等教育出版社，1997-11.

[3]刘电芝.小学数学学与教的策略.西南师范大学出版社，2001-08.

（作者单位 重庆市璧山县教师进修学校）