巧用轴对称性，提升解题能力

周昭映

“轴对称性”在初中数学解题中比较常见。将图形与数结合，联系各知识点，从图形中获取信息，培养学生观察能力和想象力，发展学生的空间观念。下面结合本人的教学实践，通过几个具体的例子，谈谈轴对称性在解题中应用。

一、轴对称性在轴对称图形中的应用

轴对称图形有正方形、菱形、圆、线段、角等，这些图形本身的性质往往是计算线段的长度，例如：

例1：如图1，数轴上A、B两点表示的

数分别为-1和 ，点B关于点A的对

称点为C，则点C所表示的数为（ ） 图1

分析：如图1，由绝对值的几何意义得知，点C与点B到点A的距离相等，即│AB│=│CA│= +1，利用对称思想，结合点C在负半轴上，解得点C表示的数为―2― 。

例2：如图，在平面直角坐标系中，菱形

OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），

点B的纵坐标是-1，则顶点A的坐标是（ ）。

分析：菱形的两条对角线所在的直线都为它的对称轴，由对角线OC所在的直线（X轴）为对称轴，得点A的纵坐标为1，以直线AB为对称轴，由对称思想， OC=2，所以点A的横坐标是2，即点A的坐标是（2，1）。

例3：正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边

三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有

一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值是（ ）。

分析：此题解题的关键是找出点D或点E关于直线AC的对称点。显然，点B与点D关于直线AC对称，则线段BE的长度即为所求，因为△ABE是等边三角形，所以PD+PE=BE=AB=2 。

二、轴对称性在“折叠”中应用

“折叠”中包含了角平分线的概念、平行线性质、轴对称，直角三角形性质，全等形性质、矩形的性质，函数方程等知识，叙述简洁，学生从图形中获取有用的信息，从而解决问题。

例1：如图1，将矩形ABCD沿BE折叠，

若∠CBA'=30°，则∠BEA'=（ ）。

分析：已知∠CBA'=30°，由矩形ABCD沿BE折叠，知∠A'BE=∠ABE=∠ABA'÷2=30°，再由直角三角形两个锐角互余，∠BEA'=90°-∠A'BE=60°

例2：如图2，等边△ABC的边长为1cm，D、E

分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点

A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴

影部分图形的周长为（ ）。

分析：从表面上看，此题是求图形的周长。事实上，利用轴对称性（直线DE是对称轴），A'D=AD，A'E=AE，将阴影部分图形的周长转化为三角形△ABC的周长，即3cm。

例3：动手操作；在矩形纸片ABCD中，

AB=3，AD=5，如图3所示，折叠纸片，使点

A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'

在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移

动，若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，

则点A'在BC边上可移动的最大距离为（ ）。

分析：此题如果按照题目要求：动手操作，问

题简单化，在动手操作过程中，易得到动点A'有两

种极端位置，如图3-1，当点Q，D重合时，

求得BA'=1如图4-2，当点P，B重合时，求得BA'=3，

所以，答案是2。

当然，能用轴对称性来解题目还有很多，限于篇幅，不可能一一举例。

数学思想方法可以促进学生数学能力的形成，轴对称的性质使用，不仅提高学生运用空间观念、函数方程思想，领悟一些解题中的共性问题，而且对掌握必要的数学方法和策略也是大有裨益的。