六年数学“七桥问题”中一笔画能画

摘要：科学家欧拉在研究七桥问题，将其转化为一笔画，能画出的条件是：1、图是连通的。2、画中的顶点为奇点（与顶点相连的线的条数为奇数）个数为0到2。经本人研究，原来一笔画需要满足的2个条件不存在了，建立了理论：无条件原理。“七桥问题”中的一笔画，用新理论，能画出，用欧拉理论也能画出。

关键词：欧拉；图论；一笔画可画；无条件原理（剪对论或李忠福原理）

18世纪著名古典数学问题之一（是有关图论研究的热点问题）。18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如上图上）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。

1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，开创了数学新一分支---图论。 在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。 若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了（如上图下）。若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由A或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是3为奇数，于是可知从A出发是无解的。同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是5、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。 欧拉由此得到一笔画的规律： 由此可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件： 1. 图形必须是连通的。 2. 图中的“奇点”个数是0到2。 后来人们就依此来检验图形是不是可一笔画出。回头也可以由此来判断由“七桥问题”转化同的图，4个点全是奇点，可知不能“一笔画出”。

这图三中第⑥笔终点是C，第⑦笔的起点是B，从C点跳到B点，这是断笔，不连续了，符合一笔画要求吗？看下面的画法。

在一个圆绝筒上，B、C合为一点，按画一到图三笔顺画。从一侧看为图四，从另一侧看为图五。过B、C点将圆筒剪开，则“七桥问题”中的一笔画就出现在你眼前了。

图中A、B、C、D四个奇点，B、C和为一点，奇点只有A、D两点，用欧拉理论就能画了。

三、一笔画的新画法————无条件原理（折对论或李忠福原理）

将纸折叠，使C在外凸线上，与B对接（靠在一起），笔就由C点来到B点，可完成图七中⑤、⑥、⑦笔顺，之后再将折对部分展开，这样就一笔画完七桥中一笔画。其中笔顺⑥和⑦可倒，②和⑤可倒，且可有其它笔顺的画法，读者可探究之。

欧拉理论中有3种画不能一笔画出：1、连通图奇点数大于2；2、不连通的图；3奇点数大于2又不连通的图。多奇点的连通在上面的例子中已画出，不连通图，如图八、图九。

图八画法：先画出外大三角形，折叠使笔停止点在外凸线上，用这点与内小三角形上任一点对接，这样就能从外大三角形画到内三角形了，图八就可画成了。画图九时，先画外圆，以笔终点折叠，让该点在折叠的外凸线上，用该点与内小圆对接，可画次内圆了，同上，逐次向内折对，每个圆都画出了。

用折叠、对接，画后再展开的方法，不存在笔不连通（断笔）问题，想往哪画就能画到哪里，只要用一只笔画的画，都可一笔画成，多奇点又不连通的图，同样方法都能画成。

欲画的图称为原图，原图可象图八、图九这样，在纸上有图，也可在心中有图，纸上无图，原图上无论有多少个偶点，都不妨碍一笔画出。原图上有N（N大于2）个奇点，原来认为不可一笔画出。N为2k或2k+1，K为大于1的自然数，这样的图，我们将两折对（奇点变为偶点），余下奇点数小于2，按欧拉理论是可一笔画出的。不连通的图，将不连通处折对，不连通的图也可一笔画出。

由此可见，原来欧拉理论认为能一笔画出的图，仍可一笔画出，欧拉认为一笔画不出的图，也都能一笔画出了，一笔画不出的图没了。一笔画原来的条件不存在了。

在原图上将奇点和不连通处折對，使笔连续画，从图中某一点可画到图上任意需要再画的地方（空间），画完后再将折对部分展开。象这种折叠、对接、展开的画法，在图论中可称为：无条件原理（折对论或李忠福原理）。

无条件原理中主要是对接，对接使间断变为连接，解决了关键问题，折叠是为对接提供条件，展开是恢复画面平整。

原来画不出的一笔画，是因为把纸看成是不动（静止）的，不变（折）的。事物是运动的，任何事物之间都是有联系的。

一笔画可画，七桥有办法走，在下文‘走七桥之法发表之前，读者可自行探之。