极限……的实践应用

2013-04-29 15:15杨剑波杨瑞云
今日湖北·下旬刊 2013年6期
关键词:极限实践应用

杨剑波 杨瑞云

摘 要 利用极限式解题时,一般方法过程繁琐、机械,且运算量大。本文分析该公式的特点,开辟解题思路,力求使该公式应用起来简洁、易懂。

关键词 极限 实践 应用

引言

数学是一门来源于实践,又作用于实践的基础学科。高等数学中极限的概念是贯穿整个高等数学内容的一个重要概念,而两个重要极限之一的,更是极限学习的重点和难点。在多年的教学过程中发现,学生对这个极限的理解不是很深,在应用时经常出错,本文就是在理解该极限式本身特点的基础上,重点阐述了该极限式的应用技巧,为同学们更好的掌握该公式提供了方便。

一、公式的认识

观察极限式,不难发现此极限应用时的特点(极限应用时的情况类似):

(1)此极限主要解决1∞型或可化为1∞型的幂指函数的极限;

(2)它可形象地表示为(方框□代表同一变量)。

二、公式的具体应用

1、在具体计算时的应用技巧

例1 求.

解:所求极限类型是1∞型,令 =u,则x=2u.则有

例2 求.

解:所求极限类型是1∞型.

从以上两例的解答过程中,我们推广得到下面的结论:

(a)如果把函数换成的形式,答案就是eW。

(b)函数换成则答案就是eWV。

(c)函数换成答案是eW。这些结论应用时应首先满足(1)(2)。举例如下:

例3 。

例4 。

例5 (1)

(2)

(3)

(4)

注:对于型的复合形式,先变成型,再按上面的推广结论处理。

例6

(令)=t

例7

2、在微分学中的应用

导数的定义是建立在极限概念的基础之上的,在学习导数相关结论时,必然会用到极限的相关知识。比如推导导数公式(ax)'=axlna和(logax)'=时,都用到了第二个极限公式,这里就不具体阐述了。

3、在实践例子中的应用探索

我们看一下连续复利的情况:如果一笔年利为7%,每年支付n次复利的投资的年有效收益,1年后余额为(1+)n,而。对于大于1 000 000的n值,你会发现1+≈1.0725082,年有效收益约为7.25082%,即使你取1000或10000,这一年有效收益也不会有明显改变,值7.25082%是一个上界,年有效收益随复利次数的增加而越近于该值.当年有效收益达到这一上界时,我们就说这种利息是连续支付的复利,这是从7%的票面利率中能够取到的最大收益.类似的,我们可以计算年利率为其它值时的最大收益。

在现实世界中,有许多事物的变化都类似连续复利。例如,放射物质的衰变;细胞的繁殖;物体被周围介质冷却或加热;大气随地面上的高度的变化;电路的接通或切断时,直流电流的产生或消失过程等,这些问题我们都可以类似的去研究。

三、总结

数学教学不应当仅停留在经验和纯理论的水平上,而应根据专业的特点,使学生从实践应用中去理解数学的抽象性和理论性,真正的将所学应用于生活中,达到理论和实践的完美结合,从而能动的改造客观世界。作为一名教师,我们就是要不断地思考和探索,想方设法的将已有知识传授给学生,使学生学有所获,学以致用。

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