极限……的实践应用

杨剑波　杨瑞云

摘 要 利用极限式解题时，一般方法过程繁琐、机械，且运算量大。本文分析该公式的特点，开辟解题思路，力求使该公式应用起来简洁、易懂。

关键词 极限 实践 应用

引言

数学是一门来源于实践，又作用于实践的基础学科。高等数学中极限的概念是贯穿整个高等数学内容的一个重要概念，而两个重要极限之一的，更是极限学习的重点和难点。在多年的教学过程中发现，学生对这个极限的理解不是很深，在应用时经常出错，本文就是在理解该极限式本身特点的基础上，重点阐述了该极限式的应用技巧，为同学们更好的掌握该公式提供了方便。

一、公式的认识

观察极限式，不难发现此极限应用时的特点（极限应用时的情况类似）：

（1）此极限主要解决1∞型或可化为1∞型的幂指函数的极限；

（2）它可形象地表示为（方框□代表同一变量）。

二、公式的具体应用

1、在具体计算时的应用技巧

例1 求.

解：所求极限类型是1∞型，令 =u，则x=2u.则有

例2 求.

解：所求极限类型是1∞型.

从以上两例的解答过程中，我们推广得到下面的结论：

（a）如果把函数换成的形式，答案就是eW。

（b）函数换成则答案就是eWV。

（c）函数换成答案是eW。这些结论应用时应首先满足（1）（2）。举例如下：

例3 。

例4 。

例5 （1）

（2）

（3）

（4）

注：对于型的复合形式，先变成型，再按上面的推广结论处理。

例6

（令）=t

例7

2、在微分学中的应用

导数的定义是建立在极限概念的基础之上的，在学习导数相关结论时，必然会用到极限的相关知识。比如推导导数公式（ax）'=axlna和（logax）'=时，都用到了第二个极限公式，这里就不具体阐述了。

3、在实践例子中的应用探索

我们看一下连续复利的情况：如果一笔年利为7%，每年支付n次复利的投资的年有效收益，1年后余额为（1+）n，而。对于大于1 000 000的n值，你会发现1+≈1.0725082，年有效收益约为7.25082%，即使你取1000或10000，这一年有效收益也不会有明显改变，值7.25082%是一个上界，年有效收益随复利次数的增加而越近于该值.当年有效收益达到这一上界时，我们就说这种利息是连续支付的复利，这是从7%的票面利率中能够取到的最大收益.类似的，我们可以计算年利率为其它值时的最大收益。

在现实世界中，有许多事物的变化都类似连续复利。例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周围介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等，这些问题我们都可以类似的去研究。

三、总结

数学教学不应当仅停留在经验和纯理论的水平上，而应根据专业的特点，使学生从实践应用中去理解数学的抽象性和理论性，真正的将所学应用于生活中，达到理论和实践的完美结合，从而能动的改造客观世界。作为一名教师，我们就是要不断地思考和探索，想方设法的将已有知识传授给学生，使学生学有所获，学以致用。