剖析命题点探究新动向

数列是高考考查的一个重要内容，考查的知识多为数列的通项与前n项和，等差与等比数列的通项、前n项和及性质，递推数列等.近几年来高考考查的重点是等差与等比数列的定义、通项、求和及其性质的综合应用等，常常是1～2道小题和一道解答题，小题多用来考查等差与等比数列的定义、通项、求和及其性质的简单应用等，解答题多为等差、等比数列的综合应用，常与不等式、函数、导数、解析几何等知识综合交汇，既考查了分类、化归、递推等数学思想方法，又考查综合运用知识进行运算、推理论证及解决问题的能力.本文通过典型例题的剖析，给大家以参考.

热点一：数列的基本问题

有关数列的基本问题，这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题，难度不大，考生应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质解题.

例1若等差数列{an}满足a2+S3=4，a3+S5=12，则a4+S7的值是.

分析：由本题的结构特点，容易联想到等差数列的一个性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq，以此性质递推，不难得到答案.

解：在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq，所以a1+a3=2a2.又由a2+S3=4，可得4a2=4，所以a2=1.

同理，由a3+S5=12，可得a3=2，则a4=3.

又S7=7a4，则a4+S7=8a4=24.

说明：本题结构形式简洁，且较好地考查了等差数列的相关性质.这种命题方式恰好是高考命题者设计数列知识点考题的一种风格，即挖掘数列知识的内在性质，简化数列试题的外在形式.解题的基本功在于对等差、等比数列性质的准确理解和灵活运用.

例2已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=.

分析：本题是已知数列{an}的前n项和Sn与an的递推关系式，求an的通项公式的一种常见题型，求解时，注意由n≥2时，an=Sn-Sn-1求得通项公式之后，还要讨论n=1时，a1=S1的情形是否满足通项公式.

解：由Sn=2an+1可知，当n=1时得a2=12S1=12，当n≥2时，有Sn=2an+1①Sn-1=2an②

①-②可得an=2an+1-2an，即an+1=32an，

故该数列是从第二项起以12为首项，以32为公比的等比数列，故数列通项公式为

an=1（n=1）12（32）n-2（n≥2），

故当n≥2时，Sn=1+12（1-（32）n-1）1-32=（32）n-1，

当n=1时，S1=1=（32）1-1，故Sn=（32）n-1.

说明：本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用.已知数列{an}的前n项和Sn与an的递推关系式，求an的通项公式或研究数列{an}的性质，以此设置命题意在考查考生对Sn与an的内在联系的认识，即Sn=Sn-1+an（n≥2，n∈N*）.

热点二：数列的递推与求和问题

研究数列的递推公式，从而研究数列的其他性质和求和问题，递推公式简单时往往较容易.但有些不易求出通项公式的题目，难度较大，其求解的关键是：读懂题意，搞清数列递推关系式提供的各方面信息，然后再根据所给的问题采用相应的方法去解决.

例3已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设a1>0，λ=100，当n为何值时，数列{lg1an}的前n项和最大？

解：（1）取n=1，得λa21=2S1=2a1，a1（λa1-2）=0，

若a1=0，则S1=0，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=0，所以an=0，

若a1≠0，则a1=2λ，当n≥2时2an=2λ+Sn，2an-1=2λ+Sn-1，

上述两个式子相减得：an=2an-1，所以数列{an}是等比数列.

综上，若a1=0，则an=0.

若a1≠0则an=2nλ.

（2）当a1>0，且λ=100时，令bn=lg1an，所以，bn=2-nlg2，

所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）

则b1>b2>b3>…>b6=lg10026=lg10064>lg1=0

当n≥7时，bn≤b7=lg10027=lg100128

故数列{lg1an}的前6项的和最大.

说明：本题主要从三个层面对考生进行了考查.知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识和数列递推关系式的问题；能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

热点三：数列的综合性问题

与函数、不等式、解析几何结合的数列综合题，对思维能力有较高要求，考查了分析问题和解决问题的能力，体现以能力立意的命题原则，是近来年高考的热点问题，属于中高档难度的题目或压轴题，解决这类问题常常要综合利用各种数学思想与方法，特别是函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想及其配方法、换元法、待定系数法等基本数学思想方法，这样才能准确解答这种问题.

例4已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2+an2与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.

（1）用a和n表示f（n）；

（2）求对所有n都有f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的a的最小值；

（3）当0

解：（1）由已知得，交点A的坐标为（an2，0），对y=-x2+12an求导得y′=-2x，

则抛物线在点A处的切线方程为：y=-2an（x-an2），即y=-2anx+an.则f（n）=an

（2）由（1）知f（n）=an，则f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的充要条件是an≥2n+1，

即知，an≥2n+1对于所有的n成立，

特别地，当n=1时，得到a≥3，

当a=3，n≥1时，an=3n=（1+2）n≥2n+1，

当n=0时，an=2n+1.

故a=3时f（n）-1f（n）+1≥nn+1对所有自然数n均成立.

所以，满足条件的a的最小值为3.

（3）由（1）知f（k）=ak

下面证明：1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）>6·f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）

首先证明06x，

设函数g（x）=6x（x2-x）+1，0

当00

故g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（23）=19>0

所以，当00，即得1x-x2>6x

由06ak，从而

1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）

=1a-a2+1a2-a4+…+1an-a2n

>6（a+a2+…+an）=6×a-an+11-a

=6×f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）

说明：本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力，且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.

热点四：数列的创新问题

数列中的创新问题是近年高考试卷中出现的一个亮点.这类问题要求考生在短时间内读懂并理解一个陌生的数列问题情境，对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，然后综合、灵活地应用所学的数学知识、思想方法，紧扣获取的相关信息进行独立的思考、加工、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.

例5定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=|x|；④f（x）=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 .

解：设数列{an}的公比为q.对于①，f（an+1）f（an）=a2n+1a2n=q2，是常数，故①符合条件；对于②，f（an+1）f（an）=2an+12an=2an+1-an，不是常数，故②不符合条件；对于③，f（an+1）f（an）=|an+1||an|=|an+1an|=|q|，是常数，故③符合条件；对于④，f（an+1）f（an）=ln|an+1|ln|an|，不是常数，故④不符合条件.

由“保等比数列函数”的定义知应选①③.

说明：本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.

总之，在数列考查中，要理解数列的概念，特别注意递推数列，熟练掌握等差数列、等比数列的性质、公式及公式的延伸，应用性质解题，往往可以回避求首项和公差或公比，使问题得到整体解决，能够减少运算量，应引起考生重视.解决数列综合问题要注意函数思想、分类论思想、等价转化思想等，注重数列与函数、方程、不等式、解析几何等其他知识的综合；另外，数列与导数、平面向量、概率等新知识相结合也不可忽视.重视递推数列和数列推理题的复习.对于数列应用题也要注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等背景，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决.

（作者：朱振华，江苏省海门中学）