高考数学应用题的命题规律透视

近年来江苏高考一直坚持对数学应用题的考查，不仅落实了“发展学生的应用意识”的新课标理念，还充分体现数学学科的特点，引导学生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识.江苏高考近5年应用题得分情况如下：

通过以上数据我们发现，江苏高考应用题的命题虽然坚持“贴近生活、背景公平、控制难度”的原则，注意把握提出问题所涉及的数学知识和方法的难度，但从考生得分的来看，还不够理想，形势依然不容乐观.下面就近年来的江苏高考应用题进行分析，透视试题特点，挖掘命题规律，希望给我们2013届高三教师和考生有所启迪.

一、几何背景函数化

几何背景函数化是近年来江苏高考应用题的一大特色，一直深受高考命题专家的青睐，此类问题往往背景相对简单，贴近学生的生活实际，通俗易懂.本类考题主要考查函数、导数等基础知识，考查学生数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力.

例1（2011年江苏卷第17题）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm，

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

分析：本题考查了函数的解析式及其定义域、立体几何中简单几何体侧面积与体积公式、导数在实际问题中的应用等内容，综合性强，覆盖面大.第（1）问利用面积间的关系，确定侧面积S是关于x的二次函数后，求其最大值；第（2）问先建立函数解析式，确定定义域，由于目标函数是关于x的三次函数，因此利用导数求最大值.

解：（1）S=602-4x2-（60-2x）2=240x-8x2=8x（30-x）（0

（2）V=（2x）222（60-2x）=22x2（30-x）（0

当0

此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60-2x）2x=12.

例2（2008年江苏卷第17题）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm.

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x（km），将y表示成x的函数关系式.

（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.

分析：本题以污水处理为背景，第（1）问先建立两个函数关系式，第（2）问从（1）中选一个关系式进行求函数最值，进行横向探究，既照顾到了考生的实际，也使问题变得比较平缓，充分体现问题背景的公平性.

解：（1）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则OA=AQcosθ=10cosθ，故OB=10cosθ，又OP=10-10tanθ，

所以y=OA+OB+OP=10cosθ+10cosθ+10-10tanθ，所求函数关系式为y=20-10sinθcosθ+10（0<θ<π4）.

②若OP=x（km），则OQ=10-x，所以OA=OB=（10-x）2+102=x2-20x+200

所求函数关系式为y=x+2x2-20x+200（0

（2）选择函数模型①，

评注：近7年（2006-2012）的江苏高考应用题，有5年都是采用几何背景函数化（除09年为商业的满意度问题和07年概率题，无图），此类问题往往依托图形，有时利用平面几何或立体几何的面积、体积公式建立函数模型（以三次函数为主，如2006年江苏卷第18题及例1），有时借助解直角三角形或初中三角形全等、相似等内容探寻函数关系式（以三次函数、三角函数为主），结合定义域，运用求导的方法求函数最值（如例2）.此类问题背景简单，比较平缓，充分体现问题背景的公平性.

二、测量背景不等式化

测量背景的应用题近年来一直是高考应用题命题的热点，全国其它省份的测量背景的应用题都是以解三角形为主，主要是正、余弦定理的综合运用，侧重考查方程（组）思想，而江苏高考常会以函数思想立意（有时会结合方程思想），而后运用不等式的知识（以一元二次不等式的解法及基本不等式求最值为主），来考查学生解决实际问题的能力.

例3（2010年江苏卷第17题）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？

分析：本题是以三角形为模型考查考生的应用意识，是从课本中寻求应用问题的载体，其原型是苏教版数学必修5第11页第3题.本题考查了解斜三角形、两角差的正切及基本不等式的运用.在（1）中利用初中正切函数的定义，结合图形就可以得到关于H的方程；（2）中H为定值，d为变量，关键是将问题转化为求tan（α-β）关于d的目标函数，利用基本不等式求解，但要注意对角的范围进行讨论.

解：（1）HAD=tanβAD=Htanβ，同理：AB=Htanα，BD=htanβ.

AD-AB=DB，故得Htanβ-Htanα=htanβ，解得：H=htanαtanβ-tanα=4×1.241.24-1.20=124.则电视塔的高度H是124m.

（2）由题设知d=AB，得tanα=Hd，tanβ=HAD=hDB=H-hd，

tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanα·tanβ=Hd-H-hd1+Hd·H-hd=hdd2+H（H-h）=hd+H（H-h）d

d+H（H-h）d≥2H（H-h），（当且仅当d=H（H-h）=125×121=555时，取等号）

故当d=555时，tan（α-β）最大.因为0<β<α<π2，则0<α-β<π2，所以当d=555时，α-β最大.故所求的d是555m.

例4（2012年江苏卷第17题）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120（1+k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

解析：本题主要是函数、方程和基本不等式的综合应用.第（1）问求出炮的最大射程即求y=kx-120（1+k2）x2（k>0）与x轴交点的横坐标的最大值，建立x关于k的函数关系后，利用基本不等式求x的最大值.第（2）问求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，利用一元二次方程根的判别式求解.

解：（1）在y=kx-120（1+k2）x2（k>0）中，令y=0，得kx-120（1+k2）x2=0.由实际意义和题设条件知x>0，k>0.∴x=20k1+k2=201k+k≤202=10，当且仅当k=1时取等号.

∴炮的最大射程是10千米.

（2）∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka-120（1+k2）a2=3.2成立，

即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根.

由Δ=（-20a）2-4a2（a2+64）≥0得-6≤a≤6，即0

此时，k=20a+（-20a）2-4a2（a2+64）2a2>0.

∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

点评：此类问题的解决一定要有函数的思想，先建立“目标函数”，从而化归为利用基本不等式求目标函数的最大值或最小值问题.题目难度不大，对建模能力的要求不是太高，但由于知识的融合度大，目标函数隐蔽性又强，考生会意识不到建立目标函数来解题（如例3与例4），从而会失去解题的方向.

三、商业背景利润化

这类应用题常见于产品制造，商品买卖，投资理财，风险决策，经济核算等，由于取材背景广泛，考生需要抓住问题的实质，结合数学知识和一定的生活经验，才能顺利建立数学模型，使问题获得解决.

例5（2009年江苏卷第19题）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm+a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nn+a.如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.

（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA=35mB时，求证：h甲=h乙；

（2）设mA=35mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

分析：本题主要考查函数与不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.本题关键是确定mA与mB的范围：因为甲生产A要12元成本，乙只要3元成本，所以如果甲向乙买A产品价格就不能高于12元，即mA∈[3，12]，同理mB∈[5，20].

（2）当mA=35mB时，h甲=m2B（mB+20）（mB+5）=1（1+20mB）（1+5mB）=1100（1mB）2+251mB+1，

由mB∈[5，20]得1mB∈[120，15]，所以当1mB=120，即mB=20，mA=12时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105.

（3）由（2）知h0=23

因为h甲·h乙=12x+12·yy+5·xx+3·20y+20=12x+36x+15·20y+100y+25≤49

所以当h甲≥23，h乙≥23时有h甲=h乙=23

因此不能取到mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立.

例6（2010年江苏卷附加题第22题）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各种产品相互独立.

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.

解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72，

P（X=5）=0.2×0.9=0.18，

P（X=2）=0.8×0.1=0.08，

P（X=-3）=0.2×0.1=0.02.

由此得X的分布列为：

X1052-3

P0.720.180.080.02

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4-n件.

由题设知4n-（4-n）≥10，解得n≥145，又n∈N，得n=3，或n=4.

所求概率为P=C34×0.83×0.2+0.84=0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.

评注：本类问题难度适中，但往往题目长，阅读量大，加上又是与商业相关的问题，多数同学对与商业相关的应用题有畏难的意识（主要是缺乏生活经验），加上题目又放在高考试卷的偏后位置，学生做题时间紧，放弃的多，因此得分偏低.可以预测，江苏高考应用题若涉及商业或经济类问题，背景肯定比例5、例6简单，思路肯定会更清晰，更贴近学生的生活实际，更能体现出公平性.

（作者：宋卫东，赣榆县教育局教研室）