微积分在概率论中的应用

陈红燕 邓臻

摘 要：针对概率论为微积分的后续课程这样一个教学实际，分析两门课程之间的关系，研究微积分对概率论的渗透作用，通过实例等方法说明了微积分在概率论中的几点应用。

关键词：集合 函数 随机变量 分布函数 积分 微分

中图分类号：TS1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）03（a）-0242-02

微积分与概率论是两门非常重要的数学学科，均是高等学校理工专业的必修课程，为后续专业课提供必要的数学工具。虽然两者发展路径不太一样，但两者间确有着密切的关系，可以说微积分是概率论的地基，概率论是微积分的延续，大学课程里也是先开设微积分，后开设概率论，所以进一步揭示微积分在概率论中的渗透，并将微积分的思想与方法巧妙的应用到概率论的中去，是我们值得关注的问题，本文将从几个方面阐述微积分在概率论中的应用。

1 集合在概率论中的应用

勒贝格积分建立了测度论与集合论之间的关系，从而有了概率论，而集合论与微积分之间是源和流的关系，可以说是微积分加速推动了概率论的形成。

概率论的主要研究对象是随机试验，随机试验的结果不唯一，把其所有结果组合在一起就构成了一个集合，也就是样本空间，我们关注的随机事件便成了这个集合的子集，本质上还是集合，后面便顺理成章的用集合间的关系与运算来处理事件间的关系与运算，早期数学家们研究的古典概型也是有限集合的应用，集合论的渗透使得概率论得到了突飞猛进的发展。

2 函数在概率论中的作用

概率论中无处不渗透着微积分中的函数思想。

（1）随机事件。是一个集合，事件发生的概率就是定义在事件集上的一个集函数。

（2）随机变量是定义在样本空间上的一个集函数，是概率论最重要的概念之一，它实现了从样本空间到实数的一个过渡，从某种程度上结束了概率的古典概型时代，把概率论推上了更加宽广的道路。

（3）为一个随机变量，为一个实数，函数称为的分布函数，此函数也是概率论的又一重要概念，它描述了的取值规律性，并且具有非常好的函数性质：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导等，因此微积分中的很多函数方法便可以顺利的进入概率论领域，此外连续型随机变量的概率密度也是概率论引入的另一重要函数。

概率，随机变量，分布函数与概率密度都是函数，在这些对应关系下，概率论的研究道路越走越顺畅，这也是微积分对概率论起到的至关重要的作用。

3 积分、微分在概率论中的作用

连续型随机变量最大的亮点就是引入了概率密度函数，建立了概率与的关系，此关系的也可用分布函数与同时来表示：，在的连续点上，对上述表达式求导，即得：。

因此，概率论中连续型随机变量的相关问题从某种程度上转为了微积分问题，比如，连续型随机变量的概率，数学期望，方差等定义及其计算全部用微积分解决。

4 微积分的计算方法在概率论中的作用

概率论的很多问题均转化为微积分问题，所以一些微积分计算方法便在概率论中得到了应用，现举例说明。

例1：设服从参数为的poisson分布，求其数学期望。

解：法一 利用微积分中特殊函数的展开式。

5 微积分在概率论中的其它一些应用

（1）分布函数的性质： 看似两个简单的结论，其实严格证明还得用到微积分的极限问题；概率论中的大数定律与中心极限定理用到的也是微积分中的极限。

（2）概率论中多维连续型随机变量的函数的概率分布是一个难点，但引入合适的雅可比行列式可以将复杂的问题简单化。

（3）微积分中的一些特殊函数在概率论中也有着广泛应用，如函数，借用它，我们定义了概率论中的两个重要分布：分布与分布。

微积分有着几百年的历史，已经非常完善，也许这也是为什么数学家们用微积分解决概率论问题的原因之一，微积分确实推动了概率论这门学科的快速发展。反之，概率论的很多思想也可以用于解决复杂的微积分问题，希望我们可以发现更多的方法，用于两者的共同发展。

参考文献

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