论乘方余数，a内n次方总和，亿不开方数

郭伍军

【摘要】从小热爱数学，经常身带计算器，无论做什么工作不放弃对数学的学习研究，去年发表了《谈几点简单的数学看法》.现在简单阐述乘方余数，希望大家给予批评矫正.

【关键词】论乘方余数an和an+bn和an+bn+cn，n为奇数为稳定性，n为质数时为绝对稳定性，n为偶数时是不定性；费尔马大小定理的看法，亿不开方数，a内n次方的和——半解之题

an-1（n为正整数时）除以n-1一定整除，如：92-1除以8整除，94-1除以8整除，95-1除以8整除，当n为奇数时，an+1除以a+1整除，an-1除以a-1也整除，如：93+1除以10整除，93-1除以8整除.

两个数的次方相加减：an-bn能被a-b整除.当n为奇数时，an+bn除以a+b整除，an-bn除以a-b也整除.如：173+133和175+135和177+137…都能被30整除，又：173-133和175-135和177-137…都能被17-13=4整除.

当n为偶数时，只能在a-b=1时，a和b是相邻数时，an+bn-1能同时被a和b整除.如：42+32和44+34和46+36减去1之后能同时被3和4整除.

三个数的n次方相加：an+bn+cn，当n为奇数时，a-b=b-c时，能够被b整除.133+113+93中13-11=11-9就能被11整除.连续相邻整数的n次方相加的和，能被首尾数字的和整除.如：33+43+53+63+73+83+93和35+45+55+65+75+85+95都能被3+9=12整除.

当n为偶数时，只有三个相邻数的n次方的和稳定，a-b=b-c=1时，an+bn+cn减去2之后能被b整除.如：92+102+112和94+104+114减去2之后能被10整除.

特殊时：a=b+c时，当n为奇数时，an-bn-cn能同时被a，b，c，n整除.

当n=3时，a3-b3-c3=3abc，如：113-73-43=11×7×4×3和173-103-73=3×10×17×7.

当n=5时，a5-b5-c5=5abc（ab+c2），如：115-75-45=11×7×4×5×（11×7+42）=5×11×7×4×（11×4+72）.

当n为偶数时，a=b+c时，an-bn-cn能被b和c整除，其他不稳定或太复杂.

例如：相邻五个数字的分别平方的和减去10等于当中数字平方的五倍【只限于平方，相邻五个数字】.相邻七个数字分别平方的和减去28后是当中数字的七倍【只限于平方，相邻七个数字】.

费尔马大定理：xn+yn=zn，当n>2时没有正整数解，把这个式子写成an-bn=cn.当n=2时，a-b=1时，也就是a和b是相邻数时，a2-b2=a+b每个大于2的数都会写成这种形式，最少每个数字可以写成a2-b2=c2一次.比如：252-242=72，132-122=52，412-402=92，因为每个奇数都能写成一个偶数和一个奇数为相邻数相加的形式，看完最后文会更清楚.当n>2时，还要从相邻数说起，a-b=1是相邻数，n=3时，a3-b3=3ab+1，当n=4时，a4-b4=＼[a+b＼]ab×2+2b+1，当n=5时，a5-b5=5a2b2+5ab+1，当n=6时，a6-b6=3×＼[a+b＼]a2b2+4×＼[a+b＼]ab+2b+1，当n=7时，a7-b7=7a3b3+14a2b2+7ab+1另一种算法：＼[a+1＼]×＼[a+1＼]=a2+2a+1，＼[a+1＼]×＼[a+1＼]×＼[a+1＼]=a3+3a2+3a+1，也就是＼[a+1＼]的n次方.最后都是+1，关键就是这个+1，本来由ab相乘相加最后再+1的数，a和b的约数都不会整除，质因数被破坏，再受n的限制永远开不出正整数相同n次方来.如果a-b=2或3或4或5或6时，就是2个3个4个5个6个＼[多个＼]不同这样的数字相加永远开不出相同正整数n次方根来.把a3写成数列：1，8，27，64，125…数列中的哪两个相加（或相减）也不会得其中的一个数字.数列中相邻数的差再写成数列：7，19，37，61…数列中的数连续两个或多个数相加永远得不到a3数列中的数字.在an-bn=cn中，n>2时，n越大越没有正整数解.因为a和b越相乘相加次数多，得到的+1的数字越大，不能被整除的数字越多.

费尔马小定理说：若p是一个质数，而a和p互质，则ap能被p整除.这是质数的绝对性.我认为可以换一句话：如果p是一个质数，a除以p余几，ap除以p也余几，a除以p整除，ap除以p还整除.因为多少数字相加减还是这个性质.只不过其中会有负数出现，p是一个质数时，单个数或多个数相加减的和【或差】除以p余几，这个式子中的数分别p次方除以p还余几.如：113-25+37-46+17=96，96除以3整除，1133-253+373-463+173这个式子除以3也整除，96除以5余1，还有1135-255+375-465+175除以5也余1，再有96除以7余5，1137-257+377-467+177除以7也余5.

多个数字加减形成的式子，有时会得到负数，有时会得零，如果得零，那么原式不改变加减顺序，其中的数字分别p（质数）次方后，都能被p整除.如果得到一个负数y除以p整除，分别p次方后也能被p整除.如果得到的这个负数y不能被p整除，则这个式子的数分别p次方后得到的数加上y的绝对值就能被p整除.117-67-63-17+30=0，1173-673-633-173+303能被3整除，1175-675-635-175+305能被5整除，1177-677-637-177+307能被7整除（所有的质数都整除）.

19-17-12+5=-5，193-173-123+53加上5能被3整除，192-172-122+52加上5能被2整除，195-175-125+55能被5整除，197-177-127+57加上5能被7整除.也就是说，一个式子相加减得出一个负数y，这个式子的数分别p次方所得的数，加上y的绝对值所得的数一定被p整除.

也就是说一个由加和减形成的数字式，当p是一个质数，其中的数字分别p次方后还顺序相加减，原来的式子除以p余几还余几，整除还整除，式子的得数是零时，当p是一个质数，永远整除.

ap-bn+cn或ap-bn-cn中a=b+c时，n为偶数.ap-bn+cn能被a整除.n为奇数，ap-bn-cn能被a整除.

99-78+28除以9整除，99-77-27除以9整除，99-76+26除以9整除，99-75-25除以9整除.

9-72+22=-45能被9整除，92-78+28=-5764464除以9整除，9-77-27=-823662除以9整除 .

把一个数分解成n次方相加的形式叫做n次方组和形式，比如2=12+12，3=12+12+12，4=22是正方数，5=22+12，6=22+12+12，7=22+12+12+12，8=22+22，是它们的最低组合形成，在平方组和形式中分成四种数，第一种：除以4余1的数中有，奇数的正平方数，还有一个偶数的平方加上一个奇数的平方，还有两个偶数的平方加上一个奇数的平方三种数字，因为偶数的几次方还是偶数，奇数的偶次方都是除以4余1的数，除以4余1的数是离正方数最近的数字，所以除以4余1的数列中的数字最低平方组和没有4个数相加的时候，最多是两个偶数加上一个奇数，三个数组成.除以4余2的数字，因为没有一个数的几次方会得除以4余2的数，也就是说4n+2的数字永远开不出一个正整数方根来，必须是由两个奇数的平方加在一起或两个奇数的平方再加上一个偶数的平方.除以4余3的数字，有两种：一种是3个奇数的平方加在一起，一种是一个偶数的平方加上3个奇数的平方的组合，因为3个奇数的平方相加才会有除以4余3的数字，除以4余3的数只有除以4余3的数字的奇次方才能得到除以4余3的数.

4n+3的数永远开不出偶次方的正整数方根，33=27是最小的4n+3的正方数，35是第二个，73是第三个，113是第四个，37是第五个，153是第六个，193是第七个，233是第八个，75是第九个，39是第十个除以4余3的正方数19683.

4n+3的数字的最低平方组和就有两种，任何数字的最低平方组和都不会超出4个数字.

4n的数字除以4整除，在平方组和中变化最多有5种，有正方数，还有2个偶数的平方，还有3个偶数的平方，还有4个偶数的平方，还有可以写成4个奇数的平方相加的形成.比如：60，可以写成72+32+12+12和52+52+32+12和62+42+22+22最少4个数字组成.

就因为正平方数都是4n和4n+1的数字，60的巧合也是离正方数最远的最巧合的数字，61就是62+52组成，就应了费尔马小定理4n+1的质数，能并且只能一次表示两个数的平方和.

由于4n+1的质数，绝对不会是正方数，再由于质数的绝对性，它只有是一个偶数的平方加上一个奇数的平方组成，必须只能写成一种式子.所有能开出正整数偶次方根来的奇数，减1会被8整除，也就是说奇数的偶次方，都会是除以8余1的数字.

亿不开方数：当一个数的十位以上的数不变，十位以下个位上的所有的数字随意变化，都开不出正整数n次方根来的数字段叫做十不开方数，比如50到59和70到79，没有一个可以开出正整数方根来，50和70就叫十不开方数，50是最小的十不开方数.当一个数字的百位以上的数字不变，十位数和个位数字随意变化，都不能开出正整数方根来，叫做百不开方数.比如4100叫做百不开方数.照这样说下去，当一个数字亿位以上的数字不变，亿位以下的数字随意变化，都开不出正整数方根来，就叫亿不开方数.比如：3599999300000000到3599999400000000整亿中一个能开出正整数方根来的都没有（无论开几次方）.