对两例易错杠杆平衡问题的推理

张明邦

对于杠杆平衡问题，一直以来是杠杆平衡条件应用得重点，同时也是杠杆知识中的难点，因为杠杆本身处于平衡状态，但条件发生变化时，杠杆是否可以继续保持平衡呢？以常规方法来推理，是根据依据杠杆平衡条件。对变化进行比较后，通过公式计算结果来判定，此种方法的缺点是运算难度大、耗费时间长。所以，随着社会的需求与技术的革新，此类方法显然不适用。本文通过以下两例案例，用推理法和计算法进行分析，从而总结出推理法的优点与用法。

杠杆平衡 问题 推理 示例分析

一、案例一

杠杆平衡问题在实际教学过程中极易出错，下面是实际教学过程中遇到的两例易错题实例。

例1.如图1所示，杠杆两端挂有铁块，杠杆处于平衡状态。G甲﹥G乙，

当将两铁块同时浸没入水中时（C）

A.杠杆仍保持平衡B.不平衡，左端下沉C. 不平衡，右端下沉D.无法判断。

错解：C

分析：对于本题，学生很容易得出C答案正确的结论。而得出这个答案的思路是“想当然”的，他们认为图1中，支点偏左，G甲偏大。当铁块完全浸没入水中时G甲由于体积大而受到更大的浮力，使得杠杆左端受到向下的力减小得更多，则杠杆左端上升，右端下沉。笔者对此题进行了实验验证和理论推导，正确答案为A，即杠杆仍保持平衡，具体推导过程如下：

思路：原来杠杆两端所受的力大小分别等于两端铁块所受的重力的大小，此时杠杆平衡。后来两铁块同时浸没入水中后，都受到了向上的浮力。杠杆两端所受的向下的拉力大小变成了两端铁块所受的重力和浮力的合力的大小。新的问题是两边合力的大小所产生的力矩〔力矩=力×力臂（M=FL）〕是否使杠杆平衡。推导过程：如图2所示起初杠杆平衡时有G甲L甲=G乙L乙，设铁块的体积分别为V甲和V乙，铁的密度为ρ铁，水的密度为ρ水。则浸没入水中后，铁块受到的浮力F=ρ水ɡV铁。因为铁块的体积为

二、案例二

例2.如图3所示，有一根一端粗一端细的均质木棒，用绳子拴住木棒的O点，将它悬挂起来后，恰好处于水平位置，如图所示，若把木棒从绳子悬挂处锯开，则被锯开的木棒（ ）

A 粗细两端一样重 B 粗端较重 C细端较重 D无法判断错解：B（说明：资料所给答案为B，起初师生也认为是B答案）。

错解分析：大家看图后认为左边部分短，对应的力臂L左短，右边部分长，对应的力臂L右长，即L左﹤L右，由杠杠平衡条件G左L左=G右L右，得G左﹥G右，得出B正确的错误答案。

分析：此题有两个隐含条件，一个是木棒密度均匀；另一个是木棒的粗细变化率均匀。笔者对此题进行了如下理论推导。

如图4所示，当绳子挂在O点时，木棒水平平衡，说明木棒重心在绳子所在的竖线上。设木棒总长为L，重心距左端距离为1nL ，

以上两题的解题过程启示我们，对于杠杠的平衡问题，不能简单的从“力”的角度或杠杆的“长短”入手得出结论，而应从力矩平衡的角度去推理论证解决问题。

参考文献：

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