“正切函数的性质与图像”的教学实践与认识

胡晓雯

正切函数 性质 图像

1案例背景

2012年12月，笔者参加了校内举行的“聚焦课堂 高效教学研究月”的活动，开设了一节公开课——“正切函数的性质与图象”。课后通过专家点评、与同行交流，对学生的主体性地位有了更为深入的认识，对新课程理念有了更为具体的理解，对以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点开展的有效教学活动很受启发。下面是笔者对这次活动的心得体会，希望引起同行的关注。

2教学过程

在研究正弦函数的图像与性质时，我们借助于单位圆中的正弦线，通过平移、描点作出了正弦函数的图像，再结合图像研究性质并解决相关问题。因此在教学中，很多同行都会采用类比思想，先大致作出正切函数图像，再通过图像研究其性质并解决相关问题。本着新课改理念，新课程不仅仅利用类比思想来研究正切函数，而且在此基础上做了更大的突破。它换了一个新视角来研究正切函数：先根据已有的知识研究正切函数的相关性质，结合性质作出图像，再由图像去验证已有的性质并挖掘其它性质，最后利用图像和性质解决相关问题。这样既为合理作出正切函数的图像奠定了理论基础，同时也传递给学生一个讯息，研究函数的相关问题时，数形结合不仅仅是从形到数的研究，也可以从数到形来进行研究。这样既拓宽了学生的思维，又使学生研究问题的方法更上了一个台阶。在此思想的指导下，笔者在教学中收到了很好的效果。现将本次活动的课堂教学案例梳理如下，如有不足，恳请斧正。

教学过程如下：

2.1复习并引入新课

练习：画出下列各角的正切线

设计意图：借助于单位圆让学生作出正切线，既是复习也为后面用类比的思想作出正切曲线埋下了伏笔。教师就是引导学生联系原有的知识，为学习新知做好铺垫。这时教师可选择一些有代表性的作图结果，然后用实物投影展示，这样哪怕教师不点拨，学生就清楚了自己的问题所在，充分体现了以学生为主体的思想。

2.2主动探究，解决问题

2.2.1研究正切函数的性质

设计意图：教师先设计好学案，让学生利用在单位圆中作出的正切线，自己去研究正切函数的相关性质。教师利用几何画板做出角的终边在各个象限时正切线的动画演示。让学生通过几何的画板演示直观感知正切函数的“两域三性”。（这里也可利用其它知识研究正切函数的性质，如用三角函数的定义去研究定义域和值域，结合诱导公式研究周期性、奇偶性…）这样不仅发挥了学生的能动性，而且发散了学生的思维。因为学生在收集、整理性质过程中又是一次思维的整合，对如何研究函数性质又更进了一步。教师在巡视过程中及时汇总学生意见，引导学生形成正确的知识和方法。同时教师事先要估计学生学习中会遇到的困难，想方设法帮助学生突破难点。避免教师对学生喋喋不休的低效灌输，这既是对学生主体性地位的尊重，也是践行新课程“以学生的发展为本”理念的需要。）

2.2.2结合性质，小组合作探究，作出函数的图像

类比y=sinx图象的由来，你能通过单位圆的正切线作y=tanx，x∈（-π2，π2）的图象吗？

1.先画出y=tanx在一个周期内的简图。

2.教师用投影仪展示作图结果，并作出在定义域上的图象。

3.投影仪展示完整图像。目的是规范作图，理顺思路的作用。

教师小结：

第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象；

第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去；

第三步：根据图象总结性质。

设计意图：从教学实践看，教师尽可大胆放手把活动、思考的时间还给学生，把观察、归纳、概括、探究的机会让给学生，这样有助于学生思维的发展。教学中先让学生自主绘图，再投影学生的图像，通过投影仪纠正图像。最后再结合前面研究出的性质让学生进一步观察图像。这样学生结合定义域会明白为什么正切函数会有两条渐近线，结合值域明白为什么函数图像可以向上向下无限延伸，结合奇函数和单调性明白了如何正确连线成图才能得到较精确的正切函数图像。这样通过学生自己动手得到图像，使学生学会了一类周期性函数的研究方式。学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强了学习数学的兴趣，从而提升学生分析问题的能力及严密认真的态度。课程标准指出，教师需要合理利用信息技术辅助教学，揭示数学本质，让学生的理解更透彻。

2.2.3观察图像，小组合作讨论进一步研究性质

（1）正切函数的图像是被相互平行的直线x=kπ+π2，k∈Z所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。

（2）对每一个k∈Z，在开区间内，函数单调递增.

（3）正切函数的图像关于原点对称；（问：还有其他的对称中心吗？）总结出对称中心为（kπ2，0），k∈Z，无对称轴

设计意图：除了前面所研究的正切函数性质外，让学生进一步观察函数图象。分小组根据正切函数图象去验证正切函數已有的性质，并挖掘出其它的性质。教师提出问题后，先让学生自主探究，

尝试解决。教学中经常会遇到这样的情况，教师刚把问题提出来，就开始头头是道的分析起来，或者没等学生充分思考就开始提问，剥夺了学生思维活动的时间和空间。学生的思维丰富多彩，有奇思妙想，教师可能始料未及。笔者在教学中通过四人小组合作、交流，留足够的时间让学生去发现正切函数的其它性质。根据学生学习知识的发生发展成熟过程，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。小组讨论过后，先让其中一个小组成员总结、发言，其它各小组补充或更正，这样可以培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。

2.2.4类比正弦函数“五点法”作图，如何快速作出正切函数的简图？

正切函数图象的简单作法：三点两线法

（0，0）、（π4，1）、-π4，-1

“三点”：

x=π2和x=-π2

“两线”：

设计意图：在学生自主探究、合作交流的基础上，借助于单位圆作出了较为精确的正切函数图像，但在利用函数图像解决问题时，这样作图既费神又费力。所以教学中类比正余弦函数图像简图的作法，教师引导学生利用三点两线法快速作出正切函数的简图，从而解决相关问题。

2.3通过练习，巩固基础

若-π6

例2.求出满足条件 tanx≥3 的x的取值范围？

思考题：画出函数y=tanx的图象，探究该函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性、单调区间和对称性。

设计意图：在课堂教学中，数学教学不是“结果”的教学，而是“思维活动过程”的教学，通过前面问题的提出过程，知识的获取过程，结论的探究过程，认识的升华过程以及分析、解决问题的艰难曲折思维过程后，接下来让学生借助于研究好的图像和性质利用数形结合思想解决相关问题，及时了解学生课堂中知识掌握的情况。正是有了前面的一系列的教学过程，学生自己思考得多，通过自己探究获取的知识掌握得很好，所以学生就能利用所学的知识，快速地解决相关的问题。

2.4总结思考，提高能力

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。

（1）学习了正切函数图像的作法；理解了正切函数的图像特征；掌握正切函数的基本性质。

（2）学会用类比方法研究问题，渗透数形结合的思想。

（3）体验了成功的快乐。

设计意图：整堂课已经接近尾声，笔者也想了解一下学生在这堂课中收获和体会。笔者随机叫了两名同学进行了课堂小结。其中一名男生回答说：“在接触一个新函数时，可以尝试回忆学过的已有函数，看看能不能利用类比的思想解决一类问题，然后大胆去猜想、论证。”另外一名女生说：“通过这节课的学习，使她明白了合作、交流，自主探究的魅力。也明白了可以多角度地去研究函数问题：数形结合不仅仅是从形到数的研究，也可以换个角度从数到形来研究，为我们研究数学问题提供了新视角。”教室里顿时响起了雷鸣般的掌声，这是我事先没预料到的，也充分说明笔者这节课上得非常成功。學生通过自主思考、合作探究的成效是显著的！

2.5分层作业，巩固拓展

（1）全体同学完成作业本；

（2）每位同学结合今天研究的内容，设计一道回家作业题，并完成。

3案例反思

对相同的教学内容不同的教师处理教材的方法可能也不一样。这些不同，缘于教师对教材的理解与处理、对学生原有认知结构的认识以及对教学实际的把握；也缘于教师教学风格的不同。这节课表面看看很简单，内容也不多，前面又有了正余弦函数研究的铺垫，上起来应该不难。但专家点评说这节课要把它上好是非常难的，很容易上成一节流水课，没有什么新意。而且这堂课实际上是高中教材中很难啃的一块骨头。不过专家对笔者的这堂课给予了高度的肯定和赞赏，认为笔者很好的实施了新课程理念，课堂中让学生共同探讨，让学生自己去发现问题、解决问题。对学生核心数学思想的提升有很大的帮助。同时处处保持互动，以学生为本，充分发挥和挖掘学生的潜能。同时肯定笔者具有很好的数学素养！通过课后与同行交流、聆听专家点评后，笔者更深刻地认识到数学教育要彰显出学生的主体性地位。如果教师提出问题后就讲个不停，这样只能用教师的思维，或少数几个被提问学生的思维填补其它大多数学生的思维，这样的结果是强迫学生接受，破坏了思维活动的自主性、独立性，有碍于学生思维的发展。课堂教学中要充分尊重学生的思维活动过程，让其暴露出来，即使思维过程是错误的甚至是可笑的，但这实际是存在的，不可以视而不见。教师需要根据不同的教学内容，指导学生灵活采用接受、记忆、模仿、练习、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方式；在教学中，可以借助信息技术，提高课堂容量，把难以呈现的数学本质揭示出来，也可以用数学实验让学生体验知识形成的过程。要以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点，践行新课程的教育理念，开展有效的教学活动。

感谢“聚焦课堂 高效教学研究月”的活动，使笔者从理论到实践对数学教学都有了更新的认识。在今后的教学中，笔者将切实地尊重学生的主体地位，践行新课程理念，扮演好引导者、组织者、合作者的角色。

参考文献：

＼[1＼]普通高中数学课程标准（实验）＼[S＼].北京：人民教育出版社，2003.

＼[2＼]李昌官.数学优秀课成长的基础、过程与方法.高中数学教与学，2010.