如何引导学生抓住高中数学解题方法的关键

赵改静

高中数学课堂教学一般是围绕例题展开的，学生听例题讲解是一听就会，但到自己接触数学题时，却是一做就差，甚至是无从下手。究其原因，这是没有抓住解题方法的关键。因而中学数学的首要任务是培养学生具备解决问题的才智、独特见解及创造精神，把“解题”作为培养数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。对于数学题，其求解过程可总结为以下四个阶段：①必须弄清问题，清楚地看到要求的是什么？②必须了解各个项之间有何联系？未知数与已知条件之间有什么关系？③实现所制定的计划，④回顾能完成的解答，对它进行检验和反思。上述每一个阶段都有其重要性，下面通过实例对每一个阶段进行具体的分析。

第一阶段：弄清问题。回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的，首先必须了解问题的文字叙述，教师在某种程度上可检查学生这一点，同时不要错过这样的问题：未知数是什么？已知条件是什么？求什么？满足条件是否可能？

例1 若x、y、z∈R，且x+y+z=1，求证：x2+y2+z2≥13

要证明这一道题目，要求做题者必须掌握证明不等式的方法与技巧，明确要证的结论是什么？已知条件是什么？条件与结论之间有何关系？此题的已知条件是三个实数的和为1，根据此条件要证明它们的平方和不小于13。

第二阶段：拟定计划。我们知道，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题计划的思路，看着未知数，试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉问题来，你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？你能否利用它？为了解利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？因而我们需要拟定一个计划。

例2 继续考察例1

例1中需证的不等式，左边是条件中三个实数的平方和，因此对此不等式的证明，一般地，我们的做法是先对条件等式两边平方。对x+y+z=1两边平方得：x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1

观察平方后的等式：此式中已经得到待证式左边的式子x2+y2+z2，而其余三个式子2xy，2xz，2yz可通重要不等式的变形2ab≤a2+b2进一步转化为含有x2、y2、z2的式子，于是平方后等式左边的式子全都可转化为x2、y2、z2之间的关系式，从而可使不等式得到证明，此时计划已拟定。

第三阶段：实现计划。想出一个计划，产生一个求解念头是不容易的，要成功，需要有许多条件，比如：已有的知识，良好的思维习惯，目标集中，还要有好运气。但实现计划则容易得多，我们需要的主要是耐心地处理好计划中的每一个细节。

例3 我们继续考察例2

x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1

而2xy≤x2+y2，2xz≤x2+z2，2yz≤y2+z2，∵x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤3（x2+y2+z2）即3（x2+y2+z2）≥1∴x2+y2+z2≥13

这样就实现了我们的求解计划。

第四阶段：回顾、反思。这一阶段是我们最缺乏的，即使是相當好的学生，当他得到问题的解答，并且干净利落的写下结论后，通常就会合上书本，找点别的事来干。对于这一阶段，很多做题者都容易忽略，其实通过回顾能完成的解答，可巩固基础知识和发展解题思维。

例4 中央电视台创办“城市之间”栏目以增进各国交流，本期有伦敦、上海等10个不同国家的城市报名参赛，需将10个城市分成两组，每组5个城市，且每组前两名晋级总决赛，求伦敦、上海分在同一组的概率.

分析：

第一阶段：弄清问题。1、已知条件：10个队平均分成2组进行比赛；2、待求结论：伦敦、上海分在同一组的概率；

第二阶段：拟定计划。先用排列组合知识求出10支队伍平均分成两组的分法及伦敦、上海分在同一组的分法，再利用等可能性事件概率公式求解。

第三阶段：.回顾、反思。对于分组问题，不同理解，就有不同的分法，因而也就有不同解法。上面的解法是平均分组，因而这两个组是没有顺序的。

上述几种解法各有千秋，由于对试验的具体解法不同，可取不同的等可能性事件集，解法四把分组问题巧妙转化为排座位问题，在观形象、简洁明快，抓住了问题的本质。

解题主要有以上三个阶段，当然并不是解每一道题都必须恪守这四个阶段，但若能在解题中作好每一阶段的分析、探索，就必定能在解题方面有所作为，有所感悟！