浅谈“若p则q”的命题之否定

王晓杰

摘 要：很多学生认为命题“若p则q”的否定是“若p则？劭 q”，这是错误的，以浅显易懂的方式纠正这个误区.

关键词：命题；否定；真值

引例：写出下列命题的否定.

（1）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线相互平分。

（2）若a·b=0，则a=0。

有人认为“若p则q”的否定是“若p则？劭 q”.如命题“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线相互平分”的否定为“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线不相互平分”.看起来好像没什么错，一真一假，但是，把“若a·b=0，则a=0”的否定写成“若a·b=0，则a≠0”就有问题了.很显然，这里的原命题和它的否定都是假命题，这就出现了矛盾.下面我们从“若p则q”定义说起，从而了解它的否定.

一、假言命题

用联结词“若……则……”联结两个命题p、q，构成的命题“若p则q（p→q）”称为p、q的假言命题，读作p蕴涵q，它属于复合命题的一种.假言命题是反映某一事物情况是另一事物情况存在条件的命题，或者说，假言命题是有条件地陈述某种事物情况存在的命题.

二、“若p则q”的否定是什么

为解决这一问题，首先我们从假言命题的真值表开始，其真值表如下：

易见，当且仅当p真q假时p→q为假.我们发现，根据“蕴涵”的意义，p→q即“若p则q成立”，也可以说“若p则？劭 q不成立”，即“p→q=？劭 （p∧（？劭 q））”.因此，由命题演算定律知：？劭 （p→q）=p∧（？劭 q）.（我们只是了解此结果，详细的推导过程请读者参阅有关逻辑学文献.）

由此假言命题（p→q）的否定是：p∧（？劭 q）.

那么引例中两个问题的答案应是：

（1）“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线相互平分”的否定是“存在一个四边形，它是平行四边形且它的对角线不互相平分”.

（2）“若a·b=0，则a=0”（省略量词的全称命题）的否定是“存在实数a、b使得a·b=0，且a≠0”.

又如，命题“若x+y<1，则x2+y2<1”的否定是“存在实数x和y，使x+y<1且x2+y2≥1；命题“若a+b是偶数，则a和b是偶数”的否定是“存在实数a、b使得a+b是偶数，且a和b不是偶数”.

必须注意，假言命题的否命题与该命题的否定是两个不同的概念.首先，对象不同，否命题仅针对假言命题而言，而任一命题都可以写出它的否定.其次，命题的否定式是原命题的矛盾命题，两者一真一假，而假言命题的否命题则不然，与原命题的真假可能相反也可能相同.如上述命题“若a和b是偶数，则a+b是偶数”的否命题是“若a或b不都是偶数，则a+b不是偶数”，仍是全称命题，而其否定式“存在数a和b是偶数，且a+b不是偶数”是一个特称命题.

三、对命题的一点了解

教材中我们学习了全称命题和特称命题的否定，“若p则q” 的四种命题，那么命题共有多少种呢？

教材中我们不研究全称命题和特称命题的否命题（除非可以改写成“若p则q”的形式），也不提及“若p则q”命题的否定，我们在有关命题的教学中，要把握好讲解的“度”是不难的，但在一些习题资料中偶尔会出现此类问题，比较棘手，学生也容易混淆，需要我们老师多了解一些，做到心中有数.

参考文献：

蔡圣兵.简单的逻辑联结词学习指导[J].高中生学习：高二版，2011（02）.

（作者单位 内蒙古自治区呼伦贝尔市海拉尔第二中学）