浅谈中考中的数学建模思想类型

庄家朝

数学的生命力在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。如何将现实转化为数学模型，这是对学生创造性地解决问题能力的检验，也是数学教育的重要任务。

数学建模思想是指从实际问题中发现、提出、抽象、解决、处理问题的思维过程。它包括对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释验证等步骤。现就初中数学中考中几种常见的数学建模类型归纳如下，与大家商榷。

一、方程模型

方程是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型。方程应用题可以与现实世界的许多问题发生联系，求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，设定合适的未知数找出相等关系，但要注意验证结果是否适合实际问题。

方程模型主要有工程、行程、利息和税率、百分率、浓度分配、劳力调配等题型。

例.（上海市，2004）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固。由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原来计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天。为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？

（答案：64米。）

二、不等式（组）模型

现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定具体数值，但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。

不等式（组）模型主要有方案设计、最佳优化等题型。

例.（河北省，2004）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金（元），求y与x间函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理化建议。

（答案：（1）y=1600x+1800（30-x）+1200（30-x）+1600（x-10）=200x+74000，x的取值范围：10≤x≤30（x是正整数）；（2）由200x+74000≥79600，得x≥28，由10≤x≤30，则x取28、29、30三个值，故有3种不同方案；（3）由y=200x+74000得y随x的增大而增大，当x=30时，y有最大值。）

三、函数模型

函数应用题涉及的知识层面丰富，解法灵活多变，是考试命题的热点问题。解答此类问题一般都是从建立函数关系入手，将实际问题模型化或结合函数图象来挖掘解题思路。

函数模型主要有造价成本最低、产出利润最大、风险决策、股市、期货、开源节流、扭亏增盈等题型。

例.（贵阳市，2004）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：

若日销售量y是销售价x的一次函数。

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

（答案：（1）y=-x+40；（2）销售价定为25元，此时获得最大利润为225元。）

四、统计模型

统计知识在现实生活中有着广泛应用，作为学生要学会深刻理解基本统计思想。要善于提出问题，考虑抽样，收集数据，分析数据，做出决策，并能进行有效的交流、评价与改进。

统计模型主要有估算、预测等问题。

例.（河南省，2004）某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况统计如下（单位：千克）：

（1）分别求出本周甲、乙两种水果平均每天销售多少千克；

（2）甲、乙两种水果哪个销售更稳定？为什么？

（答案：（1）甲、乙两种水果平均每天平均销售51千克；（2）乙水果销售更稳定些。）

五、平面几何模型

几乎每个几何定理都有一个对应的图形，这个图形就可以看作几何的基本图形。只要熟悉了这些定理及图形，就可运用这些作为几何模型来解决一些实际问题。

平面几何模型主要有零件加工、残轮修复、工程选点、道路设计、飞轮、皮带、拱桥、制造设计等问题。

例1.（山东潍坊，2004）现有树12棵，把它栽成三排，要求每排恰好为5棵，如下图1就是一种符合条件的栽法。请你再给出三种不同的栽法。（画出图形即可）

例2.（青海湟中，2004）有一块三角形的地，现要平均分给四农户种植（即四等分三角形面积），请你在图2上作出分法。（不写作法，保留作图痕迹）

数学建模的关键是善于通过对实际问题的分析，抓住其本质，联想相应的数学知识，建立数学表达式，并应用其性质找到解决问题的途径。

思路是：分析实际问题—（联想）—建立数学表达式—（选择数学知识）—解决实际问题。体现了数学来源于实践，又是为实践服务的宗旨。

在教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。

（作者单位 福建省泉州市德化县第五中学）